PERMÜTASYON :
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’ lilerine A kümesinin r’ li permütasyonları denir.
n elemanlı A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P (n,r) = n! / (n-r)! formülü ile bulunur.
Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3’ ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?
Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;
P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir.
Uyarı :
i. i. n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı,
Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!’ dir.
ii. n elemanlı bir kümenin 1’ li permütasyonlarının sayısı, P (n,1) = n’dir.
iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak, çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz.
Örnek: 5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.
a. Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
b. Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
c. Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm :
a. 8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır.
b. Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.
c. Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.
Dönel (dairesel) sıralama :
Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.
Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.
a. Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
b. Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
c. Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?
Çözüm :
a. 7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir.
b. Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
c. Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.
Tekrarlı permütasyonlar :
Tanım : n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ......., nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n= n1+ n2+ ........... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n’li permütasyonlarının sayısı,
(n1 ,n2 , ..., nr ) = n! / n1!.n2!...nr ‘ dir.
Örnek: “ BABACAN” sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n1 = 2
3 tane A harfi olduğu için n2 = 3,
1 tane C harfi olduğu için n3 = 1 ve bir tane N harfi olduğu için
n4 = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı,
(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 ‘ dir.
KOMBİNASYON
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı, K(n,r), C(n,r), C nr ya da
( nr ) ile gösterilir. Burada C (n,r) veya ( nr ) gösterimleri kullanılacaktır.
n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r) = ( nr ) = n! / r! . (n-r)! formülü ile bulunur.
UYARI : Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur.
i. ( nx ) = ( ny ) ise x = y veya x + y = n olur.
ii. ( n0 ) = 1
iii. ( n1 ) = n
iv. ( nn ) = 1
Örnek: Ali ve Veli’nin de aralarında bulunduğu 6 kişi arasından, aralarında Ali’nin bulunduğu ve Veli’nin bulunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm : Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve diğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağlanır. Buna göre, Veli seçme dışıdır. Ali’ yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarda bırakacağımız için seçmeye katılacak 6 - 2 = 4 kişi kalır. Bu 4 kişi arasından 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur.
C (4,3) = 4! / (4-3)!. 3! = 4.3.2.1 / 1.3.2.1 = 4’ tür.
BİNOM AÇILIMI
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla
(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr+.....+C (n,n)yn
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.
1 ...............................(x+y)0
1 1 ...........................(x+y)1
1 2 1 ......................(x+y)2
1 3 3 1 ...................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonuçlar :
1. Açılımda n+1 tane terim vardır.
2. Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) xn-r yr’ de terimi oluşturan xn-r çarpanı ile yr çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir.
3. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2n
olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 n olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.
4. Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,
C(n,r) xn-r yr ‘dir.
5. (x+y) 2n açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn ‘dir.

BERNOULLI DENEYLERİ

Binom katsayılarının kullanılmasının amacı Bernoulli Deneylerini açıklayabilmektir.
TANIM:Bernoulli Denemeleri n şanslı deneyler zinciridir.
Öyle ki ;
1.Her deneyin olası 2 sonucu vardır.biz bunlara başarı ve başarısızlık adlarını veririz.
2.Bir deneyin sonucunun başarı olma olasılığı P,her deney için aynıdır ve önceki sonuçlardan tamamen bağımsızdır.Başarısız olma olasılığı q=1-p

Örnek:1.Bir bozuk para 10 defa fırlatılıyor.2 olası sonuç yazı ve turadır.Tura gelme olasılığı her defasında ½ dir.
2.Bir fikir oylaması toplumdan rasgele seçilmiş 1000 kişiye sorularak gerçekleştirilmiştir.2 olası sonuç evet ve hayırdır.Evet cevabı verilme olasılığı p’dir.
3.bir kumarbaz 1 dizi 1 dolarlık iddiaya giriyor.Rulet her seferinde siyaha oynuyor.
Başarı1 dolar kazanmak
Başarısızlık1 dolar kaybetmek.

>Bernoulli Denemelerinde,örnek uzayımızı ikili ağaç olarak seçiyoruz ve bu ağacın yolları üzerinde olasılık hesabı yapıyoruz.











Sbaşarı
Fbaşarısızlık

Diyelim ki X başarı ve başarısızlıklardan oluşan bir sıralı üçlemenin çıktısı olsun.
Bu ağacın her dalına yazılmış olan olasılık her bireysel deneme için geçerlidir.Denemenin sonucuna Xi diyelim.Dağılım fonksiyonu mi olsun.
Her bir deneme sonucunun bir diğerini etkileyemeyeeğini kabul ettiğimize göre,ağacın her kademesine aynı olasılıkları atayabiliriz.
Tüm deney için w çıktısı ağacın bir yolu üzerinden olmalıdır
Mesela wSFS için olabilir.

İKİLİ OLASILIKLAR

n Bernoulli Denemesinde j adet başarının hesabını yapmak için kullanacağımız metottur.

b(n,p,j)
b(3,p,2)3p²q





b(3,p,o)=q
b(3,p,1)=3pq
b(3,p,2)=3p²q
b(3,p,3)=p

TEOREM: n Bernoulli denemesinde başarılı olma olasılığı p ise,kesinlikle j adet başarılı olma olasılığı;
b(n,p,j)=C(n,j) p .g ‘dir.
(q=-1-p) ise

KANIT: Yukarıda açıkladığımız gibi bir ağaç yapısını göz önünde bulundurursak j başarı sağlayan her yolun olasılıkları ile n-j başarısızlığı ele almamız gerekir. Yolu belirlemek için n olası denemeden,j adet başarı olabilecek alt küme seçmeliyiz.Kalan n-j deneme ise başarısızlık olmalıdır.Biz bunu C(n,j) yol ile yapabildiğimize göre tüm bu olasılıkların toplamı;
b(n,p,j)=C(n,j) p q olur.

Örnek: Bir bozuk para 6 kere fırlatılıyor.3 adet tura gelme olasılığı nedir?

b(6,5,3)=C(6,3).(1/2).(1/2 )²=20.1/64=0.3125


Örnek: Bir zar 4 kez atılıyor.Sadece 1 kez 6 gelme olasılığı nedir?Bernoulli denemelerinde 6 atma olasılığını ve 6 dısında bşka bir sayı atma olasılıklarınıgöz önüne almalıyız. p=1/6

b(4,1/6,1)=C(4,1).(1/6 )¹.(5/6)=0.386