BİR NOKTANIN BİR ÇEMBERE GÖRE KUVVETİ










Bir noktanın çembere göre kuvveti “p” ile gösterilecek.
Bu tanıma göre, merkezi M ve yarıçap uzunluğu R olan C çemberi ile bu çember düzleminde bir nokta P ise,
P=PM-R

P noktası;

1. Çemberin içinde ise,










p=PMR=PA<0 dır.

2. Çemberin üzerinde ise,









p=PMR=PA0 dır.

3. Çemberin dışında ise,








p=ïPMï-R2=-|PA|2>0 dır.







İspat: M(a1,b1) merkezli R1 yarıçaplı (C1) çemberi ile N(a2 , b2) merkezli R2 çemberi verilmiş olsun. Bu iki çembere göre aynı kuvvette olan noktalardan birine P(x,y) diyelim.



y











C1 C2

0 x

P noktasının bu iki çembere göre kuvvetlerini yazarak bunları birbirine eşitleyelim;

ïPMï2 -R12 = ïPNï 2- R22

(x-a1)2+(y- b1)2 - R12 =
(x- a2)2+(y- b2)2- R22

x2-2a1x+ a12+y2-2b1y+ b12- R12= x2-2a2x+ a22+y2-2b2y+ b22- R22

2(a2-a1)x + 2(b2-b1)y +a12+b12-a22-b22+R22-R12 = 0

Son elde ettiğimiz eşitlik bir doğru denklemidir. Demek ki, (C1) ve (C2)

çemberlerine göre aynı kuvvette olan noktalar bir doğru belirtir. (Karşıt olarak, bu doğrunun bir noktasının, C1 ve C2 çemberlerine göre kuvvetlerinin eşit olduğunu –bu eşitlikleri sondan başa doğru izleyerek- gösterebiliriz.)
Bu doğrunun eğimi;

2(a1-a2) a1-a2
m= ---------- = - -------- dir.
2(b1-b2) b1-b2

MN doğrusunun eğimini; N nin ordinatı ile M nin ordinatı farkını, N nin apsisi ile M nin apsisi farkına bölerek bulalım. Bulduğumuz sonucu m ile çarpalım.

b2-b1 a1-a2
mMN= ---------- =ve m.mMN = -1 olur.
a2-a1

Demek ki, iki çembere göre aynı kuvvette olan noktaların geometrik yeri, bu çemberlerin merkezlerinden geçen doğruya dik olan bir doğrudur. (Eğer bu iki doğrudan birinin eğimi tanımsız ise, diğerinin eğimi sıfır olur.)







A ile B noktalarında kesişen iki çember düşününüz. A nın bu iki çembere göre de kuvveti sıfırdır. Demek ki, A noktası kuvvet eksenin bir noktasıdır. Aynı şekilde, B noktası da kuvvet ekseninin bir noktası olacağına göre, bu iki çemberin kuvvet ekseni AB doğrusudur.
Merkezleri M,N ve K olan C1 , C2 ve C3 çemberlerini düşünelim. C1 ile C2 nin kuvvet ekseni d1, C2 ile C3 ün kuvvet ekseni d2 olsun. Merkezler doğrusal değilse, d1 ile d2 doğruları bir P noktasında kesişirler. P noktasının bu üç çembere göre de kuvveti aynıdır. P noktasına söz konusu üç çemberin kuvvet merkezi denir.




















ÇEMBERİN PARAMETRİK DENKLEMİ


(C) x2+y2=r2 çemberinin değişken bir noktası P(x,y) olsun. A(r,0) ve AOP pozitif yönlü açısının ölçüsü  ise

x=rcos
y=rsin


eşitliklerini yazabiliriz. Karşıt olarak P(x,y) noktasının koordinatları (1) eşitliklerini sağlasın. Bu halde,
x2+y2= r2cos2 + r2sin2=
r2(cos 2+sin2)=r2 olur.
















Demek ki, P noktası, C çemberinin bir noktasıdır. Öyleyse, (1) denklem sistemi bir çember gösterir. Bu denklemlere, çemberin parametrik denklemleri denir. (Burada parametre  dır.)
Eğer (C) (x-a)2+(y-b)2= r2 ise, bu kez c çemberinin parametrik

denklemleri, x= a + r cos 
y= b + r sin 
olur.