Bu bölümde ikinci ve üçüncü bölümlerde kullanılan temel tanım ve teoremler verilmektedir.

1. Temel Tanım ve Teoremler

Tanım 1.1: G boş olmayan bir küme olsun. Her a, b G için,
: GxG G
(a , b) a b ile tanımlı fonksiyona G üzerinde bir ikili işlem denir. ,G kümesi üzerinde bir ikili işlem olsun.
(a)  a, b, c G için a (b c) = ( a b) c ise işleminin birleşme özelliği vardır denir.
(b)  a G için a e= e a olacak biçimde bir tek e G elemanı varsa bu e elemanına G kümesinin işlemine göre birim elemanı denir.
(c)  a G için a a = a a olacak biçimde bir a  G elemanı varsa bu a elemanına a nın işlemine göre tersi denir.
Bir G kümesi üzerinde tanımlı işlemi (a) koşulunu sağlarsa (G, ) cebirsel yapısına yarı grup denir. Bir yarı grup (b) koşulunu sağlarsa , bu yarı gruba monoid denir. (c) koşulunu sağlayan bir monoide grup denir.
(G, ) bir grup olsun. Her a, b G için a b = b a eşitliği sağlanırsa G ye değişmeli grup denir.
Tanım 1.2: R boş olmayan bir küme, “+” ve “.” R üzerinde tanımlı iki işlem olsun. (R,+) değişmeli bir grup, (R,.) yarı grup ve “.” işleminin “+” işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özellikleri yani,  r , r , s R için,
s(r + r ) = s r + s r ve (r + r )s = r s + r s
sağlanırsa R ye halka denir.
(R,.) monoid ise halkaya birimli ve “.” işlemi değişmeli ise halkaya değişmeli halka denir.
Tanım 1.3: R bir halka ve S, R nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. S kümesi R deki işlemlere göre halka yapısını oluşturuyorsa S ye R nin bir alt halkası denir.
Tanım 1.4: R bir halka olsun. Z = { rR  s  R için rs = sr } R ye R halkasının merkezi denir.
Bir x R için Z (x) = { rR rx = xr } R kümesine x in R deki merkezleyeni denir.
Tanım 1.5: R bir halka ve a R{0} olsun. ab = 0 ( ba = 0 ) olacak şekilde bir bR{0} bulunabiliyorsa a ` ya sol (sağ) sıfır bölen denir. a R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bölen ise a `ya sıfır bölen denir. 0  aR için ab = 0 ( ba = 0 ) olduğunda b = 0 olacak biçimde b R varsa a ya sol(sağ) sıfır bölensizi denir.
0  a R elemanı hem sağ hem de sol sıfır bölensizi ise a ya sıfır bölensizi denir.
Tanım 1.6: R en az iki elemanı olan bir halka olsun. R komütatif, birimli ve sıfır bölensiz ise o zaman R halkasına Tamlık bölgesi denir.
Tanım 1.7: R bir halka olsun. a R için na = 0 olacak şekilde bir en küçük pozitif n tamsayısı varsa buna R nin karakteristiği denir ve charR = n ile gösterilir. Eğer böyle bir n tamsayısı bulunamazsa charR = 0 dır.
Tanım 1.8: R bir halka ve n Z olsun. x R için nx = 0 olması x = 0 olmasını gerektiriyorsa R ye n – torsion free denir. Örneğin, x R için 2x  0 olması x  0 olmasını gerektiriyorsa R ye 2-torsion free denir.
Tanım 1.9: (R,+,.) ve (S,,) iki halka olsun. f : RS fonksiyonu a, b R için,
f(a+b) = f(a)  f(b) ve f(a.b) = f(a)  f(b)
şartları sağlanıyorsa f ye bir halka homomorfizmi denir.
Eğer f halka homomorfizmi , birebir ise f fonksiyonuna halka monomorfizmi denir. Eğer f halka homomorfizmi , örten ise f fonksiyonuna halka epimorfizmi denir.
Eğer f halka homomorfizmi , birebir ve örten ise f fonksiyonuna halka izomorfizmi denir.
Eğer f :RR fonksiyonu, bir halka homomorfizmi ise f ye halka endemorfizmi denir.
Eğer f :RR fonksiyonu , bir halka izomorfizmi ise f ye halka otomorfizmi denir.
Tanım 1.10: R bir halka ve f : R  S bir homomorfizm olsun.
Ker f ={ xR  f (x) = 0 }
kümesine f nin çekirdeği denir.
Tanım 1.11: U kümesi R halkasının bir alt halkası olsun. r R ve u U için;
r u U ( RU  U )
ise U ya R nin sol ideali,
u r U ( UR  U )
ise U ya R nin sağ ideali denir.
Hem sağ hem de sol ideal olan alt halkaya ideal denir.
U bir sol (sağ) ideal olsun. A (U) ={rR uU için ru=0 (ur=0) } R idealine U nun R deki sol (sağ) sıfırlayanı denir.
Tanım 1.12: R bir halka olsun. 0  u R için u = 0 olacak şekilde bir n pozitif tamsayısı varsa u elemanına nilpotent eleman denir. Böyle pozitif sayıların en küçüğüne nilpotent indeksi denir. 0  u  R için u = 0 , u  0 ise u ya nilpotent eleman ve n ye de nilpotentlik indeksi denir.
Tanım 1.13: U, R nin bir ideali olsun. Bir n Z için U =0 eşitliği sağlanıyorsa U ya R nin nilpotent ideali denir.
U , R nin bir ideali olsun. U nun her elemanı nilpotent ise U ya nil ideal denir.
Her nilpotent ideal nil ideal olduğu halde nil olup nilpotent olmayan idealler vardır.
Önerme 1.1: R bir halka halka ve U, R nin sıfırdan farklı sağ ideali olsun.  u U için u = 0 olacak biçimde sabit en küçük bir n Z bulunabiliyorsa, R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali vardır.
Önerme 1.2: R sıfırdan farklı nilpotent ideali olmayan 2 – torsion free halka olsun. a R ve x R için a(ax - xa ) = (ax - xa ) a olacak biçimde ise a Z dir.
Tanım 1.14: R bir halka, P  R, R nin bir ideali olsun. R nin UV  P koşulunu sağlayan her bir U ve V idealleri için U  P veya V  P sağlanıyorsa P ye asal ideal denir.


Teorem 1.1: R bir halka ve P onun ideali olsun. Buna göre aşağıdakiler denktir.
(i) P asal idealdir.
(ii)  a ,b R için aRb  P ise a  P veya b  P dir.
(iii)  a ,b R için (a)(b)  P ise a  P veya b  P dir.
(iv) U ve V , R nin iki sol (sağ) ideali olmak üzere UV  P ise U  P veya V  P dir.
Tanım 1.15: R nin (0) ideali asal ideal ise halkaya asal halka denir.
Teorem 1.2: R bir halka olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.
(i) R asal halkadır.
(ii) a,b  R için aRb = 0  a = 0 veya b = 0 dır.
(iii) U ve V, R nin idealleri olmak üzere UV = 0  U = 0 veya V = 0 dır.
(iv) R nin sıfırdan farklı sol (sağ) idealinin sol (sağ) sıfırlayanı sıfırdır.
Tanım 1.16: R bir halka ve P onun ideali olsun. R nin herhangi bir U ideali için, U  P olduğunda U  P oluyorsa P ye R nin yarı-asal ideali denir.
Teorem 1.3: R bir halka ve P onun ideali olsun. Buna göre aşağıdakiler denktir.
(i) P yarı-asal idealdir.
(ii) a R için aRa  P ise a P dir.
(iii) (a), R de bir esas ideal ve (a)  P ise a P dir.
(iv) U, R de bir sol (sağ) ideal ve U  P ise U  P dir.
Tanım 1.17: R bir halka olsun. R nin tüm asal ideallerinin arakesitine R nin asal radikali denir ve P(R) ile gösterilir. Bir R halkasında P(R) = 0 ise, halkaya yarı- asal halka denir.
Bir R halkasının yarı-asal olması için gerekli ve yeterli koşul, a R için ,
aRa = 0 olduğunda a = 0 olmasıdır.
Her asal halka bir yarı - asal halkadır ama tersi daima doğru değildir.
Önerme 1.3: R asal halka olsun. a R için R nin sıfırdan farklı bir sağ ideali merkezleştiriyorsa a Z dir.
Teorem 1.4: R asal halka ve U, R nin sıfırdan farklı sol ideali olsun. U değişmeli ise R değişmelidir.
Tanım 1.18: Bir birleşmeli halka üzerinde yeni iki cebirsel yapı halkanın işlemlerinde kullanılarak; a, b R için [a,b] = ab - ba ve (a,b) = ab + ba komutatörleri ile sırasıyla Lie yapısı ve Jordan yapısı olarak tanımlanabilir.

Komütatörlerin bazı özellikleri aşağıdaki gibi verilebilir. a, b, c R için ;
(i) [a,b] = - [b,a]
(ii) [a+b, c] = [a,c] + [b,c]
(iii) [a, b+c] = [a,b] + [a,c]
(iv) [ab, c] = a[b,c] + [a,c]b
(v) [a, bc] = [a,b]c + b [a, c]
(vi) [[a,b] , c] + [[b,c] , a] + [[c,a] , b] = 0 ( Jacobi özdeşliği )
Önerme 1.4: R asal halka ve a, b R olsun. Her r R için b[a, r] = 0 ise b = 0 veya a Z dir.
Önerme 1.5: R bir asal halka olsun. x, y R ve 0 xZ için xy = 0 ise y = 0 dır. Önerme 1.6: R bir yarı–asal halka ve a R olsun. x, y R için a[x , y ] = [x , y ]a ise a Z dir.
Önerme 1.7: R bir asal halka Z, R nin merkezi ve 0  cZ olsun. Bir a R için ac Z ise a Z dir.
Tanım 1.19: R bir halka olsun. R nin bir toplamsal alt grubunun her a, b A elemanı [a, b]  A ( (a,b) A ) koşulunu sağlıyorsa A ya R nin Lie (Jordan) alt halkası denir.
Tanım 1.20: R bir halka ve A, R nin Lie (Jordan) alt halkası olsun. A nın bir U toplamsal alt grubu her bir u U ve a A için [u, a] U ( (u , a)  U ) koşulunu sağlıyorsa U ya A nın Lie (Jordan ) ideali denir.
Her ideal bir Lie ve Jordan idealdir ama tersi daima doğru değildir.
Önerme 1.8: R bir asal halka, char R  2 ve U Z , R nin bir Lie- ideali olsun. Buna göre, aUb = 0 ise a = 0 veya b = 0 dır.
Teorem 1.5: R 2- torsion free asal halka olsun. R nin sıfırdan farklı bir nilpotent ideali yoksa, R nin sıfırdan farklı her bir Jordan ideali, R nin sıfırdan farklı en az bir idealini içerir.
Tanım 1.21: R bir halka U, R nin toplamsal bir alt grubu ve ,  : R R iki dönüşüm olsun. [x,y] = x(y)  (y)x olmak üzere ;
(a) [U,R]  U ise U ya R nın bir (,) – sağ Lie ideali,
(b) [R,U]  U ise U ya R nın bir (,) – sol Lie ideali,
(c) (a) ve (b) aynı anda sağlanıyorsa U ya R nin bir (,) – Lie ideali denir.
 ve  R nin iki otomorfizmleri olmak üzere, C ={c R c(x)=(x)c , xR } kümesine R nin (,) - merkezi denir.
Önerme 1.9: R bir asal halka ve 0  d : R R bir (,) – türev olsun. Buna göre ,
(i) a, b R için ab = 0 ve b C ise a = 0 veya b = 0 dır.
(ii) b, ab C ise a Z veya b = 0 dır.
Önerme 1.10: U sıfırdan farklı bir (,) – sol Lie ideali olsun. Eğer U C ise U Z dir.