FONKSİYON:

Tanım: A ve B boş olmayan kümeler olmak üzere A kümesinin her elemanını B kümesinin 1 ve yalnız elemanına eşleyan badğıntıya A’dan B’ye bir fonksiyon denir.

A’dan B’ye bir f fonksiyonu

f:AB, A(f)B, xy=f(x) biçimlerinden biri ile gösterilir.Burada x’e bağımsız deişken y’ye
bağımlı değişken denir.


f:AB fonksiyonunda A kümesine fonksiyonın tanım kümesi,B kümesine fonksiyonun değerler kümesi denir. A daki elemanların görüntülerinin kümesine görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. f(A)  B dir.

NOT:f:AB bağıntısının fonksiyon olması için

1) A daki her elemanın f altında bir görüntüsü olmalı. Yani xA için f(x)=y  B olmalı

2) A daki her elemanın f altında yalnız bir tek görüntüsü olmalı. Yani f(x)=y ve f(x)=z

y=z olmalıdır.

Örnek: A={a,b,c} , B={1,3,5,7} olmak üzere A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangileri fonksiyondur?
a) f={(a,1) , (b,5)}

b) g={(a,5) , (b,5) (c,5)}

c) h={(a,7) , (b,1) , (c,5) , (c,3)}

d) k={(a,7) , (b,3) , (c,1)}

Çözüm:

a) f bağıntısına göre c A fakat f(c) tanımlı değildir. f(c)  B olduğundan f : A  B fonksiyon
değildir.
b) g bağıntısına göre, A daki her elemanın bir tek görüntüsü var ve A da tanımsız eleman
yoktur. Buna göre g : A  B fonksiyondur.
c) h,bağıntısına göre, A daki her elemanın görüntüsü var.Fakat cA nın h altında iki görüntü-
sü olduğundan h: A  B fonksiyon değildir.
d) k bağıntısına göre,A daki her elemanın bir tek görüntüsü vardır ve A da tanımsız eleman
yoktur. f : A  B fonksiyondur.

Örnek: f={(x,y) : y=2x – 5 ; x  R, y  R} bağıntısı fonksiyon mudur?
Çözüm: x  R için y=2x – 5  R olduğundan f bağıntısı bir fonksiyondur.

FONKSİYONUN GRAFİĞİ

Tanım: f:A  B, f={(x,y) : x A,y B, y=f(x)} fonksiyonuna ait olan ikililere analatik düz-
Lemdekarşılık gelen noktaların oluşturduğu kümeye, f fonksiyonunun grafiği denir.

Örnek: A={-2,-1,0.1.2.3} , f:A  R, f(x)=x² + x biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun grafiğini koordinat sisteminde gösteriniz.




Çözüm: f(x)=x² + x
x = -2  f(-2) = (-2)² -2 = 2
x = -1  f(-1) = (-1)² -1 = 0
x = 0  f(0) = 0² + 0 = 0
y x = 1  f(1) = 1² + 1 = 2
f’in grafiği x = 2  f(2) = 2² + 2 = 6
12 x = 3  f(3) = 3² + 3 = 12
f = {(-2,2) , (-1,0) , (0,0) , (1,2) , (2,6) , (3,12)}

6

2

x

-2 -1 0 1 2 3



NOT:Bir fonksiyonun grafiğinde tanım kümesi x ekseninde, değerler kümesi y ekse-
ninde gösterilir.
Bir bağıntının grafiğinde y eksenine çizdiğimiz her paralel doğru grafiği en fazla
bir noktada kesiyor ise grafik fonksiyon grafiğidir. Şayet y eksenine çizdiğimiz
en az bir paralel doğru grafiği en az iki noktada kesiyor ise grafik bağıntı grafiği-
dir, fonksiyon grafiği değildir.

FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

F:A  R, g:B  R iki fonksiyon olsun.

1) f + g:A  B  R, (f + g) (x) = f(x) + g(x)
2) f – g:A  B  R, (f - g) (x) = f(x) – g(x)
3) f . g :A  B  R, (f . g) (x) = f(x) . g(x)
4) f / g :A  B  R, (f / g) (x) = f(x)/g(x) , g(x)  0
5) k R,(k . f):A  R , (kf) (x) = k( f(x) )

ÖRNEK: f = {(-1,4) , (1,2) , (2,-1) , (3,2)} ve g={(-1,8) , (0,6) , (2,-4) , (5,1)} fonksiyonları veriliyor. Buna göre;

A) f + g B) 2f – g C) f . g D)g/f fonksiyonlarını bulunuz.

ÇÖZÜM: a) (f + g) (-1) = f(-1) + g(-1) 4 + 8 = 12  (-1,12)  f + g
(f + g) (2) = f(2) + g(2) =-1-4 = -5  (2,-5)  f + g
f + g = {(-1,12) , (2,-5)} dir.
b) (2f – g) (-1) = 2 f(-1) – g(-1) = 2 . 4 – 8 =0  (-1,0)  2f – g
(2f – g) (2) = 2 f(2) – g(2) = 2(-1) – (-4) = 2  (2,-2)  2f – g
2f – g = {(-1,0) , (2,2)}
c) (f . g) (-1) = f(-1) . g(-1) = 4.8 =32  (-1,32)  f.g
(f . g) (2) = f(2) . g(2) = (-1) . (-4) = 4  (2,4)  f.g
f . g = {(-1,32) , (2,4)}
d) (9 / f) (-1) = g(-1) / f(-1) = 8/4 = 2  (-1,2)  g/f
(g / f) (2) = g(2) / f(2) =-4 / -1 = 4  (2,4)  g/f
g / f = {(-1,2) , (2,4)}

ÖRNEK: f : R  R, f(x) = x – 1 , g : R  R, g(x) = 2x + 1 fonksiyonları veriliyor.
(f.g + 3.f) (x) fonksiyonu nedir?
ÇÖZÜMf.g + 3f (x) = f(x) . g(x) + 3f(x) = (x - 1) (2x + 1) + 3(x – 1)
= 2x² + x – 2x – 1 + 3x – 3 = 2x² + 2x – 4
EŞİT FONKSİYONLAR

TANIM: f : A  R, g : A  R iki fonksiyon olsun.  x  A için f(x) = g(x) oluyorsa f ve g
Fonksiyonları eşittir denir ve f = g ile gösterilir.

ÖRNEK: A = {0,-2} , B = {1,5} olmak üzere
f : A  B, f(x) = x² + 1
g : A  B, g(x) = -2x + 1 ile tanımlanan f ve g eşit fonksiyonlar mıdır?

ÇÖZÜM: f(0) = 0² + 1 = 1, f(-2) = (-2)² + 1 = 5
g(0) = -2.0 + 1 = 1, g(-2) = -2(-2) + 1 = 5

FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. İÇİNE FONKSİYON:

TANIM: f : A  B fonksiyonu için f(A)  B ise, f’e içine fonksiyon denir.

ÖRNEK: A = {-1,0,1}, B = {0,1,2} ; f : A  B, f(x) = x² + 1biçiminde tanımlı fonk-
siyon içine fonksiyon mudur?

ÇÖZÜM: f
A B
f(-1) = f((1) = 2
f(0) = 1
f(A) = {1,2}  B olduğundan f : A  B
içine bir fonksiyondur.







2. ÖRTEN FONKSİYON:

TANIM: f : A  B fonksiyonu için f(A) = B ise f’e örten fonksiyon denir. Yani görüntü kü-
mesi değerler kümesine eşit olan fonksiyon örten fonksiyondur.
 y  B için f(x) = y olacak biçimde en az bir x  A varsa f örten bir fonksiyondur.

ÖRNEK: f : Z  Z, f(x) = x – 3 biçiminde tanımlanan f fonksiyonu örten bir fonksiyon mu-
dur?
ÇÖZÜM: a  Z olsun x – 3 = a  x = a + 3 olur. Buna göre  a  Z için f(a+3) = a olacak
Biçimde bir (a+3)  Z vardır.f örten fonksiyondur.

3. BİRE BİR FONKSİYON:

TANIM: f : A  B fonksiyonunda tanım kümesinin her elemanının f altındaki görüntüsü di-
ğer elemanlardan farklı ise f fonksiyonu bire-bir fonksiyon denir.
f(x1) = f(x2) olması x1 = x2 olmasını gerektiriyor ise f bire-bir bir fonksiyondur.

ÖRNEK: f : R  R, f(x) = 3x – 1 biçiminde tanımlanan fonksiyon nasıl bir foonksiyondur?
ÇÖZÜM: f(x1) = f(x2) olsun. 3x1 – 1 = 3x2 – 1  x1 = x2 dir. F bire-bir bir fonksiyondur.
 y  R için 3x – 1 = y  x = y + 1 / 3 olacak biçimde en az bir y + 1 / 3  R
vardır. F(y + 1 / 3) = y dir. F örten bir fonksiyondur.
NOT: Grafiği verilen bir fonksiyonunun bire-bir olup olmadığı araştırırken x eksenine paralel doğrular çizilir. Paralel doğrular grafiği bir tek noktada kesiyorsa
fonksiyon bire-bir, birden fazla noktada kesiyorsa bire-bir değildir.
ÖRNEK: Aşağıdaki şemalarda belirtilen fonksiyonların türlerini belirtiniz.

a) b) c)
f g h
A B A B A B










ÇÖZÜM: a) f : A  B fonksiyonu bire-bir olmayan, içine bir fonksiyondur.
b) g : A  B fonksiyonu bire-bir, içine bir fonksiyondur.
c) h : A  B fonksiyonu bire-bir, örten bir fonksiyondur.

4. BİRE-BİR VE ÖRTEN FONKSİYON:

TANIM: f : A  B fonksiyonu hem bire-bir hem de örten ise f fonksiyonuna birebir ve örten fonksiyon denir.

ÖRNEK:

f g h
A B A B A B











ÖRNEK: f : R  [2,) , f(x) = x² + 2 biçiminde tanımlanan fonksiyon bire-bir ve örten bir . fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM:  x  R için x²  0 + 2 = 2 olduğundan ve  y  [2,) için en az bir x  R için . f(x) = y olduğundan f örten bir fonksiyondur.
f(-1) = (-1)² + 2 = 3
ve –1  olduğundan f, bire-bir bir fonksiyon değildir.
f(1) = 1² + 2 = 3

5. SABİT FONKSİYON:

TANIM: f : A  B fonksiyonu  x  R için f(x) = c, c  B sabit ise f fonksiyonuna sabit
fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyon tanım kümesindeki her ele-
manı, değer kümesindeki aynı elemana eşleyen fonksiyondur.
NOT: Sabit fonksiyonun grafiği x eksenine paralel bir doğrudur.

ÖRNEK: A f B f : A  B fonksiyonu  x  A için f(x) = 3

Olduğundan sabit fonksiyondur.


ÖRNEK: f : R  R, f(x)= (a - 2)x² + (b + 3)x + 7 sabit fonksiyon ise a – b + f(x) nedir?
ÇÖZÜM: 1.Yol: f(x) sabit fonksiyon ise f(x) de x değişkeni bulunmaması gerekir.
Buna göre a – 2 = 0  a = 2
b + 3 =0  b = -3
f(x) = 7 dir. a-b + f(x) =2 – (-3) + 7 = 12 dir.
2. Yol: f(x) sabit fonksiyon olduğundan f(0) = f(1)
f(0) = 7, f(1) = (a - 2) + (b + 3) + 7 =7  a = 2, b = -3 ve f(x) = 7
olmalıdır.
A – b + f(x) = 2 – (-3) + 7 = 12 dir.

ÖRNEK: y f : R  {2} , f(x) = 2 nin grafiği



f(x) = 2
x





6. BİRİM (ÖZDEŞLİK, ETKİSİZ) FONKSİYON:

TANIM: f : A  B bir fonksiyon olsun.  x  A için f(x) = x ise, f fonksiyonu birim, özdeşlik veya etkisiz fonksiyon denir. Birim fonksiyon genel olarak I ile gösterilir.
Buna göre I : A  A, f(x) = x tir.

f
A B y

f(x) = x

a


x
a

Birim fonksiyonun grafiği açıortay doğrusudur.

ÖRNEK: f : R  R, f(x) = (a – 3)x² + (b + 2) x+3 – 4 birim fonksiyon ise, a – b + c nin değeri kaçtır?

ÇÖZÜM: 1. Yol: f birim fonksiyon olduğundan f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2 dir.
Buna göre f(0) = c – 4 = 0  c = 4
f(1) = a – 3 + b +2 +c – 4 = 1  a + b = 2 a = 3
f(2) = (a – 3)2² + (b + 2) . 2 + c – 4 = 2  4a + 2b = 10 b = -1

7. PERMÜTASYON FONKSİYON:

TANIM: A   olmak üzere A  A tanımlanan bire-bir ve örten her fonksiyona permü-
tasyon fonksiyon denir.

ÖRNEK: A = {a,b,c,d] olsun. g : {(a,c) , (b,d) , (c,b) , (d,a)}
f = {(a,b) , (b,c) , (c,a) , (d,d)}
f : A  A permütasyon fonksiyondur. g = a b c d
a b c d
g : A  A permütasyon fonksiyondur.
8. TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR:

TANIM: f : A  B
x  f(x) fonksiyonu için,
a) f(-x) = -f(x) ise f(x) tek fonksiyondur denir.
b) f(-x) = f(x) ise f(x) çift fonksiyondur denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların tek ve çift fonksiyon olduklarını belirtiniz.
a) f(x) = x