n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.

Örnekler:

•n = 2 için Öa : Karekök a,

• n = 3 için Öa : Küpkök a,

• n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur

Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.

N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır.

Örnekler

• x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.

Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat

x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir.

Soru-1

A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?

Çözüm

Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,

x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0

Ş x³3 ve 5³x

Ş 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.

Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması



Öa = am/ndir.



Örnek:

• Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür.

Soru-2

Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?

Çözüm

Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Ş 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)

Ş 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)

Ş 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)

Ş x/3 = (1 – 2x)/(2)

Ş x = 8/3 dir.

Köklü İfadenin Üssünün Alınması

Tanımlı olduğu durumlarda,



(Öa )m = Öam











Örnekler:

• (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16

• (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir

Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması

Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.

n Î Z+ olmak üzere,



a , n tek sayı

Öan =

½a½ , n çift sayı





Örnekler:

• Ö125 = Ö53 = 5,

• Ö-8 = Ö(-2)3 = -2

• Ö1/32 = Ö(1/2)5 = ½

• Ö16 = Ö24 = ½2½ = 2

• Ö(Ö3 – 2)2 = ½Ö3 - 2½ olur.

Burada Ö3 - 2 < 0 olduğundan,

½Ö3 - 2½ = -(Ö3 – 2) = 2 - Ö3

•Ö26 = Ö(22)3 = 4

•Ö27/32 = Ö(3.32)/(2.42) = 3/4Ö3/2

Soru-3

Ö243 / Ö0,0048 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm

Ö243 / Ö0,0048 = Ö3.34 / Ö48.10-4 = 3.Ö3 / Ö3.24.(10-1)4

= 3.Ö3 / 2.10-1.Ö3

= 3.10 / 2 = 15 tir.

Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması

N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.



a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn)



Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır.

Örnekler:

• Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6

• x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy

• -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür.

Soru-4

A=(Ö5-3)Ö7+3Ö5 olduğuna göre, A kaçtır?

Çözüm

Ö5-3 < 0 olduğundan,

A = (Ö5 – 3)Ö7+3Ö5

= -(3-Ö5)Ö7+3Ö5

= -Ö(3-Ö5)2 .(7+3Ö5)

= -Ö(14-6Ö5)(7+3Ö5)

= -Ö2(7-3Ö5).(7+3Ö5)

= -Ö2[72 – (3Ö5)2]

= -Ö2.4 = -2Ö2 dir.

Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme

Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.

k Î Z+ olmak üzere



Öan = Öan.k = Öan/k



Örnekler:

• Ö32 = Ö25 = Ö2

• Ö3 = Ö32 = Ö9

• Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16

• Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir.

Soru-5

x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5

sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?

Çözüm

X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:

x = Ö2 = Ö26 = Ö264

y = Ö3 = Ö34 = Ö81

z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve

125>81>64 olduğundan z>y>x tir.

Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma

Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.

xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi.

Örnekler:

• Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)

• Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)

• 3Ö5 +Ö5 -2Ö5 = (3+2-1)Ö5 = 2Ö5 tir.

Soru-6

Ö48 + Ö12 - Ö27/4 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

Ö48 + Ö12 - Ö27/4 = Ö3.42 + Ö3.22 - Ö(3.32)/(22)

= 4Ö3 + 2Ö3 – 3/2Ö3

= (4+2-3/2)Ö3 = 9/2Ö3 tür.

Soru-7

Ö8 + Ö-128 + Ö16 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

Ö8 + Ö-128 + Ö16 = Ö23 + Ö2.(-4)3 + Ö24

= Ö2 - 4Ö2 + Ö2

= (1-4+1)Ö2

= -2Ö2







Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme

Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.

Tanımlı olduğu durumlarda:



Öa . Öb = Öa.b

Öa / Öb = Öa/b



Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.

Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn

Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir.

Örnek:

• (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir.

Soru-7

Ö2 . Ö16 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,

Ö2 . Ö16 = Ö2 . Ö24

= Ö25 . Ö24.3

= Ö25 . 212 = Ö217

= Ö215 . 22 = 2Ö4 tür.

Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)

1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.

a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir.

Örnekler

• a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)

• 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2

• 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6)

2-)a/(Öb-Öc) şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb+Öc ile,

a/(Öb+Öc) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb-Öc ile çarpılır.

(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan

(Öb - Öc)(Öb + Öc) = (Öb)2 – (Öc)2 = b – c dir.

Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.

a/(Öb-Öc) = [a/(Öb-Öc)].[(Öb+Öc)/(Öb+Öc)] = [a(Öb+Öc)] / [b-c]

a/(Öb+Öc) = [a/(Öb+Öc)].[(Öb-Öc)/(Öb-Öc)] = [a(Öb-Öc)] / [b-c] dir.

Örnek:

• 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2

• 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3

Soru-8

3/Ö4-Ö7 ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

3/Ö4-Ö7 = (3/Ö4-Ö7).(Ö4+Ö7)/(Ö4+Ö7)

= (3Ö4+Ö7)/Ö42 – (Ö7)2 = (3Ö4+Ö7)/Ö9

= Ö4+Ö7 dir.

Not: n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır.

Soru-8

1/(Ö2-1) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

1/(Ö2-1) = [1/(Ö2-1)].[(Ö2+1)/(Ö2+1)]

= [Ö2+1]/[(Ö2)2-11] = (Ö2 + 1) / (Ö2 – 1)

= [(Ö2+1)/(Ö2-1)].[(Ö2-1)/(Ö2-1)]

= (Ö2+1)(Ö2+1) dir.

3-) a/Öb - Öc şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb2 + Öbc + Öc2 ile çarpılır.

(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,

(Öb - Öc )(Öb2 + Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 – (Öc )3 = b – c dir.

Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.

a / (Öb - Öc ) = [a / (Öb - Öc )].[(Öb2 + Öbc + Öc2 ) / (Öb2 + Öbc + Öc2 )]

= [a(Öb2 + Öbc + c2 )] / [b - c]

a/Öb + Öc şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb2 - Öbc + Öc2 ile çarpılır.

(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,

(Öb + Öc )(Öb2 - Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 + (Öc )3 = b + c dir.

Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.

a / (Öb + Öc ) = [a / (Öb + Öc )].[(Öb2 - Öbc + Öc2 ) / (Öb2 - Öbc + Öc2 )]

= [a(Öb2 - Öbc + c2)] / [b + c]

Örnek:

• 1 / (Ö5 - Ö3 ) = [1 / (Ö5 - Ö3 )].[(Ö52 + Ö5.3 + Ö32 ) / (Ö52 + Ö5.3 + Ö32 )]

= [Ö25 + Ö15 + Ö9 ] / [(Ö5 )3 – (Ö3 )3]

= (Ö25 + Ö15 + Ö9 ) / 2

Soru-10

1 / (Ö9 + Ö6 + Ö4) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

1/(Ö9+Ö6+Ö4) = [1 / (Ö32 + Ö3.2 + Ö22 )].[(Ö3 - Ö2 )/(Ö3 - Ö2 )]

= [Ö3 - Ö2]/[(Ö3)3 – (Ö2)3

= Ö3 - Ö2 dir.

İç İçe Kökler

1-) Öx + 2Öy veya Öx - 2Öy şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,

x = a + b

olmak üzere

y = a . b

• Öx + 2Öy = Ö(Öa + Öb )2 = ½Öa + Öb½



a+b a.b

• Öx - 2Öy = Ö(Öa - Öb )2 = ½Öa - Öb½



a+b a.b

Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.









Örnekler:

• Ö4 + 2Ö3 = Ö3 + Ö1 = Ö3 + 1

• Ö7 - 2Ö12 = ½Ö4 - Ö3½ = 2 - Ö3 tür.

Soru-11



Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 işleminin sonucu nedir?

Çözüm 1

Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 = Ö[2(3 + Ö5)] / 2 - Ö[2(3 - Ö5)] / 2

= [(Ö6 + 2Ö5) / Ö2] – [(6 - 2Ö5) / Ö2]

= [(Ö5 + 1) / Ö2] – [(Ö5 – 1) / Ö2]

= (Ö5 + 1 - Ö5 + 1) / Ö2

= Ö2

Çözüm 2

Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım

x = Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5

x2 = (Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5 )2

x2 = (Ö3+Ö5 )2 +(Ö3-Ö5 )2-2Ö(3+Ö5)(Ö3-Ö5)

x2 = 3 + Ö5 + 3 - Ö5 - 2Ö32-(Ö5)2

x2 = 6 - 2Ö4 Ş x2 = 2 olur.

x = Ö3+Ö5 -Ö3-Ö5 > 0 olduğundan

x = Ö2 dir.

Not:



a>0 , b>0 ve a2>b olmak üzere,

Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] + [Ö(a+Öa2-b)/(2)

Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] - [Ö(a+Öa2-b)/(2)





1-) ÖÖÖa = Öa dır. (m.n.t çift sayı ise a>0 olmalıdır.)

Örnek:

• ÖÖÖ2 = Ö2 = Ö2

Soru-12



Ö2Ö2Ö2 ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.



Ö2Ö2Ö2 = ÖÖ23.2Ö2 = ÖÖÖ220.2

= Ö221 = Ö27 = Ö128 dir.

3-) İç İçe Sonsuz Kökler

a)

ÖaÖaÖa... = Öa



ÖaÖaÖa... = x Ş Öa.x = x

x

Ş x = Öa







Örnekler:



• Ö8Ö8Ö8... = Ö8 =2

• Ö7Ö7Ö7... = Ö7 = 7 dir.

b)

Öa:Öa:Öa: ... = Öa



Öa:Öa:Öa: ... = x Ş Öa = x

x Ş x = Öa

şeklinde doğruluğu gösterilebilir.

Örnek:

• Ö8:Ö8:Ö8: ... = Ö8 = 2 dir.

c)

Öa+Öa+Öa+ ... = (1+Ö1+4a) / (2) (a>0)

Öa-Öa-Öa- ... = (-1+Ö1+4a) / (2) (a³0)



Öa±Öa±Öa± ... = x Ş Öa±x =x

x Ş a±x = x2

Ş (±1+Ö1+4a) / 2

şeklinde doğruluğu gösterilebilir.

Örnek:

Ö5+Ö5+Ö5+ ... = x Ş Ö5+x = x Ş 5+x = x2

x Ş x2 – x – 5 = 0

Ş x = (1+Ö1+4.5)/(2)

Ş x = (1+Ö21)/(2) dir.

Not:

a > 0 olmak üzere,



Öa(a+1)+Öa(a+1)+Öa(a+1)+ ... = a+1

Öa(a+1)-Öa(a+1)-Öa(a+1)- ... = a



Örnek:

• Ö12+Ö12+Ö12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4)



3.4

• Ö30-Ö30-Ö30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6)



6.5
__________________