ÜÇgen Prİzma

ÜÇGEN PRİZMA


Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik
Hacmi = √ u.(u-a).(u-b).(u-c) .h
Yanal Alan = Taban çevresi . yükseklik
= (a+b+c). H

Bütün Alanı = 2 . Taban Alanı + Yanal Alanı
=2√u.(u-a).(u-b).(u-c) + (a+b+c).h





Örnek:
Tabanın bir ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 12 cm olan eşkenar üçgen dik prizmanın hacmi kaç cm3 tür?

A) 60√3 B)72√3 C)86√3 D)50√3 E)108√3

Çözüm:

Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Taban Alanı = a2√3 = 62√3 = 36√3 = 9√3 cm3
4 4 4
Hacmi = Taban Alanı . Yükseklik
= 9√3 .12 = 108√3 cm3

DİKDÖRTGENLER PRİZMASI

Taban şekli dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgenler prizması denir.

Hacmi = a.b.c
Yanal Alanı = 2(a+b).c
Bütün Alanı = 2ab + 2(a + b).c
Bütün Alanı = 2(ab + ac + bc)




Yüzey Köşegeni: Bir yüzeye ait karşılıklı iki köşeyi birleştiren doğru parçasına yüzey köşegeni denir.

|AC| = f ise f2 = a2 + b2

Çisim köşegeni: Aynı yüzeye ait olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.
ACC’ diküçgende pisagor bağıntısından
|AC’| = e ise e2 = f2 + c2
e2 = a2 + b2 + c2
e =√ a2 + b2 + c2





KARE DİK PRİZMA

Taban şekli kare,yan yüzeyleri dikdörtgen olan prizmaya kare dik prizma denir.

D’ C’ ABCD ve A’B’C’D’ birer karedir

a a |AA’| = |BB’| = |CC’| = |DD’| = h

[CC’] ┴ [CA]

e h h |AC| = A√2

D C

a a√2

A B

Hacmi = Taban Alanı x Yükseklik
= a2.h
Yanal Alan = Taban Çevresi x Yükseklik
= 4ah
Bütün Alanı = 2 x Taban Alanı x Yanal Alanı
= 2a2 + 4ah
Taban yüzey köşegeni = |AC| = f = a√2
Cisim Köşegeni = |AC’| = e = √2a2 +h2

Örnek:
Taban alanı 25 cm2 ve yüksekliği 8 cm olan kare dik prizmanın cisim köşegeni kaç cm dir?

A) 9 B) 10 C)√114 D) √129 E)12

Çözüm:

Tabanı 25 cm2 olduğundan bir ayrıtı 5 cm olur.
Taban Yüzeyinin köşegeni f = 5√2 cm olur.

Çisim köşegeni: e = √f2 +h2
e =√50+64
e = √114 cm cevap C)












KÜP

Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan prizmaya küp denir.


Hacmi = Taban Alanı x yükseklik
= a2.a
= a3
Yanal Alanı = Taban Çevresi x Yükseklik
= 4a.a
= 4a2
Bütün Alanı = 2 x Taban Alanı + Yanal Alanı
= 2a2 + 4a2
= 6a2
Cisim köşegeni = e = √(a√2)2 + a2
e = √2a2 + a2
e = √3a2
e = a√3

D’ C’
|BD | = a√2
|DD’| = a
|BD’| = e
A’ B’
a e
D C
a
a√2
A B





örnek:
Bir küpün hacmi, bütün alanına eşit olduğuna göre ,bir ayrıtı kaç birimdir ?

A) 3 B) 6 C) 9 D 6√3 E) 8√3

Çözüm:
Küpün bir ayrıtı a olsun Hacmi = a3
a3 = 6a2 => a= 6 birim olur.
Alanı = 6a2

Örnek :

(ABCD, A’B’C’D’) bir küp
|AK| = 1 cm
|KB| = 3 cm
|KC’| = x

x Yukarıda verilenlere göre |KC’| = x kaç cm dir ?

A) 5 B)6 C)√41 D)√47 E)√55

1 3
Çözüm:

|AB| = 4 cm ise CC’K dik üçgen olduğundan
|BC| = |CC’| = 4 cm olur |KC’|2 = |CK| 2 |CC’|2
C ile K yı birleştirdiğimizde [C’C] ┴ [CK] olur x2 = 52 + 42
BCK dik üçgen olduğundan |CK| = cm olur. x2 = 41
x2 = √41 Cevap: C




DİK SİLİNDİR

Bir dikdörtgenin kenarlarından biri etrafında 360o döndürülmesiyle oluşan cisme dik(dönel) silindir denir.


D O1 r C O1



h h h


2πr

A B O2


Hacmi: Taban Alanı x Yükseklik
Hacmi: πr2h
Yanal Alan = Taban çevresi x yükseklik
= 2πrh
Bütün Alan = 2x Taban alanı + Yanal alanı
= 2πr2 + 2πrh
= 2πr(r + h)


• Taban şekilleri dairedir ve birbirine eşittir.
• Yanal yüzeyi açılınca bir dikdörtgensel bölge oluşur.
• [AD] ve [BC] doğrularına silindirin ana doğrusu
denir ve birbirine eşit ve paraleldir .
[AD] // [BC] |AD| = |BC| = h
• [O1O2] doğru parçasına silindirin ekseni denir.


Örnek:
Taban alanı ,yanal alanına eşit olan bir dik silindirin hacmi 108 π cm3 olduğuna göre yüksekliği kaç cm olur ?

A) 1 B)2 C) 3
D) 4 E)5

Çözüm:
Taban Alanı = Yanal Alanı
πr2= 2πrh
r = h
2
Hacmi= πr2.h
108π = πr2.h
108 = r2. r .
2
r3 = 216
r = 6 cm ise h= 3 cm olur. Cevap C:
Örnek:
Bir dik silindirin bütün alanı 36π cm 2 ve taban yarıçapı 2cm dir.Buna göre, bu silindirin hacmi kaç cm3 tür.

A) 24π B)28π C)π
D) 32π E)44π

Çözüm:
Bütün Alanı = 2πr2 +2πrh
36π = 2πr(r + h)
18 =r(r +h )
18 =2.(2 + h)
9= 2 +h
h= 7 cm
Hacmi = πr2h
= π.22.7
= π.4.7
= 28π cm3 Cevap B:






EĞİK TUTULAN SİLİNDİR

Şekildeki silindirlerin hacimleri eşittir.





l/2




l/2
r r l


silindir hacminin yarısıdır


DÖNEL SİLİDİR

Bir dikdörtgenin kenarları etrafında 360o döndürülmesiyle meydana elde edilen silindirlere dönel silindir denir .


D C D C


D C

h h
b


A b B
A a B A B


Hacmi= πa2.b Hacmi= πa2.b *Eğer ABCD dikdörtgeni α kadar
Alanı= 2πa2 + 2πa.b Alanı= 2πa2 + 2πa.b bir açı ile döndürülürse

Silindirlerin hem hacimleri oranı, hem de alanları oranı, Hacmi= π.r2.h.α
dikdörtgenin kenarları oranına eşittir 360o






EĞİK PRİZMA