Kareköklü Sayılar
Rasyonel sayılar kümesi,sayı doğrusunda sık olmasına rağmen sayı doğrusunu tam dolduramamaktadır.Çünkü
sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar vardır.
Şimdi bu sayıları inceleyelim:
Karesi 2 olan pozitif a sayısını ele alalım.
a2 = 2 ise, a sayısını a= 2 şeklinde gösterebilir ve “karekök iki” diye okuruz. Acaba bu 2 sayısın hangi

sayılar arasındadır? bunu inceleyelim :
12 = 1 x 1 = 1
(1,5)2 = 1,5 x 1,5 = 2,25 tir.
O halde 2 sayısı; 1< 2 < 1,5 şeklindedir.

Buna göre, 2 sayısı 1 ile 1,5 arasındadır ve sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı

değildir. Çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
İşte sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde, rasyonel olmayan 2 , 5 ,... gibi sayılara irrasyonel

(rasyonel olmayan) sayılar denir. “|” ile gösterilir.
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine de reel sayılar(gerçek sayılar)
kümesi denir. R ile gösterilir.
R=Q  | Q  | = 
N  Z  Q  R |  R
R+ = Pozitif reel sayılar
R- = Negatif reel sayılar
R = R-  {0}  R+

Reel sayılar, sayı doğrusunu tamamen doldurur.Sayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir. Yani sayı
doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir.Yani sayı doğrusu ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir.

a bir pozitif sayı olmak üzere;
a ifadesine kareköklü ifade denir.

B. Karekök Alma
Verilen sayının hangi sayısının karesi olduğunu bulma işlemi karekök alma işlemidir.
Örnek - 1
22 = 4 ise, 4 = 2 52 = 25 ise , 25 = 5 dir.

Örnek - 2
36 = 6 . 6 = 62 = 6 dir.

a  R+ n  Z ise; an = an/2 olur.

Örnek - 3
64 = 82 = 82/2 = 81 = 8 dir.

Örnek - 4

2100 = 2100/2 = 250 olur.

Örnek - 5
225 = 31 . 52 = 3 . 5 = 15 dir.

(Karekök içinde verilen ifadenin hangi sayının karesi olduğu akla gelmezse sayı asal çarpanlarına ayrılarak
bulunabilir.)

1.Tam Kare Olmayan Bir Sayının Yaklaşık Karekökünü Bulma
Örnek – 6
657 sayısının yaklaşık karekökünü bulalım:
Karekökü alınacak sayı,sağdan sola doğru ikişer basamaklı

6 57 gruplara ayrılır. En soldaki grup bir basamaklı olabilir.


2
En soldaki 6 sayısı tam kare olmadığından, tam karekökü yoktur.6 ya en yakın
657
4 tam kare sayı olan 4 ve karekökü 2 dir. 4 sayısının 6 nın altına, 2 ti de yanda görüldüğü
karekök işaretinin üstüne yazarız.

2

6 dan 4 ü çıkarırız , kalan 2 nin yanına guruplandırdığımız 57 yi
657 2 . 2 =4
4 indiririz. Sonra,karekök işaretinin üstüne yazdığımız sayının iki katını alarak

257 çizgini altına yazarız.

2 5 4ün yanına öyle bir sayı yazalım ki oluşan sayıyı yeni yazdığımız sayıyla
657 2 . 2 = 4 45 çarptığımızda 257 veya 257 ye yakın bir sayı elde edelim.
4 5

257 x
225 225
32

Bu sayı 5tir.(bu rakamı kolay bulabilmek için 257 nin 7 sini kapatırız, kalan sayı 25 tir. 25 i 5 e bölerek karekökün
ikinci elemanını buluruz.)
Bu sayıyı 4 ün yanına hem de çizginin üzerine yazarız. 5 i 4 ün yanına yazdığımızda 45 sayısını elde ederiz 45 ile
5 in çarpımı 45 . 5 = 225 tir. 225 i 257 nin altına yazarak çıkarırız. 32 nin yanına iki sıfır, 25 in yanına da virgül
koyarız.








25 in 2 katı 50 dir 50 nin yanına 6 yı yazıp 6 ile çarptığımızda 1836 yı bulup 3200 den çıkarırız.
Buna göre 657 = 25,6 dir.


2. Karekök içindeki bir sayıyı a b şeklinde yazma

Karekök içindeki bir sayıyı a b şeklinde yazmak için, karekök içindeki sayı, çarpanlarından birisi bir doğal

sayının karesi olacak şekilde iki sayının çarpımı şeklinde yazılır. Daha sonra, tam kare olan çarpan karekök dışına
çıkarılarak kareköklü sayının kat sayısı olur.
a2 .b = a b dir. ( a>0)

Örnek – 7

27 = 9 . 3 = 32 . 3 = 3 3


3.Kareköklu bir sayının kat sayısını karekök içine alma
ab şeklindeki bir ifadenin kat sayısını karekök içine almak içim; kat sayıın karesi alınarak karekök içindeki
sayının yanına çarpım olarak yazılır. Daha sonra, karekök içine yazılır.
a b = a2b dir. (a>0)

C.Kareköklü sayılarda dört işlem
1.Toplama - Çıkarma
Kareköklü sayılarda toplama – çıkarma işlemi yapılırken, karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale
getirilmesi gerekir.Sonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır.
a x + b x - cx = x (a + b – c)
2.Çarpma
x,y birer pozitif reel sayı olmak üzere;
ax . by = a.b  x.y

3.Bölme
x,y birer pozitif reel sayı ve b  0 olmak üzere

ax a x

by b y



D.Paydayı Rasyonel Yapma
Paydası kareköklü olan bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.
5 5 5 . 2 52
2 2 2 . 2 2


E.Ondalık Kesirlerin Karekökü
Ondalık kesirler ya rasyonel sayıya çevrilir veya a.10n biçimine çevrilerek yazılır.
0,09 = 9 = 3 = 0,3 olur.
100 10