MATEMATİK
DÖNEM ÖDEVİ

KONU
KARMAŞIK SAYILAR


MERVE BÖLÜKBAŞI
10 FEN C
1635
KARMAŞIK SAYILAR

Belli türden denklemleri çözmede mevcut sayı kümelerinin yetersiz kaldığı zamanlar olmuştur. Bu durumda mevcut sayı kümeleri genişletilerek yeni sayı kümeleri elde edilip bu tür denklemler çözülmüştür. Örneğin;
• X+7=0 gibi denklem doğal sayılar kümesinde (N) çözülemeyince bu küme genişletilerek tam sayılar (Z) kümesi meydana getirilmiştir.
• 7X+19=0 gibi bir denklem tam sayılar kümesinde çözülemeyince bu küme genişletilerek rasyonel sayılar (Q) kümesi meydana getirilmiştir.
• x²-5=0 gibi bir denklem rasyonel sayılar kümesinde çözülemeyince bu küme genişletilerek reel sayılar ( R ) kümesi meydana getirilmiştir.
Şimdide x²+4=0 denklemini çözmeye çalışalım. x²= -4 eşitliğini sağlayan hiçbir reel sayı yoktur. Çünkü her reel sayının çift kuvveti pozitiftir. O halde reel sayılar kümesi genişletilerek bu tür denklemlerin de çözülebildiği daha büyük bir sayı kümesi meydana getirmeye ihtiyaç vardır. Bunun için;

x²+1=0 ↔ x²= -1
→ √x²= √-1
→ |x|= √-1
→ ± x =±√1 olur

Buna göre √-1 elemanını kullanıp reel sayılar kümesini genişleterek bu tür denklemleri çözebiliriz.

TANIM: a ve b birer gerçel sayı ve i = √-1 (i² = -1) olmak üzere Z=a+bi ile tanımlı Z sayısına ‘karmaşık (kompleks) sayı’ denir.
Karmaşık sayılar ‘C’ ile gösterilir.
C = { Z:Z = a+bi , a,b Є R ve i = √-1 } dir.
Z = a + bi karmaşık sayısında a’ ya Z’ nin gerçel ( reel ) kısmı b’ ye Z’ nin sanal (imajiner) kısmı denir ve
Re(Z)= a İm(Z)=b olarak yazılır.

UYARI : Z = a+bi sayısında b=0 ise Z = a ЄR dir. Buna göre her gerçel sayı, sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıdır.
Bu nedenle R ϲ C dir.
Örnekler
1) aşağıdaki sayıların sanal ve gerçel kısımlarını bulalım

a) z₁ = ¼-⅝i
b) z₂=√-9 +4
c) z₃=0

Çözümler;
a) Re(z₁)=¼ İm (z₁)=⅝
b) Z₂ =√9.√-1+2 = 3i+2 Re(z₂)=2 İm(z₂) =3
C) Z₃ = 0+0i Re(z₃)=0 İm(z₃)=0

2) Toplamları 6 ve çarpımları 10 olan iki sayıyı bulunuz

Bu sayılar x₁ ve x₂ olsun
X₁+x₂=6
x₁.x₂=10
x²-6x+10 = 0 denkleminin çözümünü bulalım ∆ =36-40=-4 X₁,₂ = (6 ± √-4)½ → (6±2İ)½ =3±İ
X₁ = 3+İ X₂=3-İ


İ SAYISININ KUVVETLERİ

i= √-1 ‘den yaralanarak i’nin kuvvetlerini bulalım,

i=√-1 den i²= -1 olur
i³=i².i → -1.i →-i i³=-i olur
i⁴= (i²)² → (-1)² =1 olur

i,i²,i³,i⁴ değerleri sırasıyla i , -1 , -i ,1 ‘e eşittir.

Benzer şekilde i⁵,i⁶,i⁷ ve i⁸ değerleri de sırayla i , -1 , -i ve 1’e eşit olduğu görülür .Bu işlemlere devam edildikçe aynı sayılar tekrarlanacağından nεN olmak üzere;

• İ⁰=i⁴=i⁸=........ i⁴ⁿ= 1
• i¹=i⁵=i⁹=........i⁴ⁿ⁺¹= i
• i²=i⁶=i¹º= .....i⁴ⁿ⁺² =-1
• i³=i⁷=i¹¹=......i⁴ⁿ⁺³ = -i olur

Sanal birimin herhangi bir kuvveti hesaplanırken , bu kuvvet yerine ,bu kuvvetin 4 ile bölünmesinden elde edilen kalan alınarak işlem yapılır.
n≡a(mod 4) →iⁿ= iª dir.

ÖRNEK:
(X+ i¹⁹)⁹⁹ = -i eşitliğini sağlayan x değerlerinden birini bulalım
19≡3 (mod4) → i¹⁹₌i³₌ -1 olduğundan
(x+i¹⁹)⁹⁹ = -i → (x-i)⁹⁹=-i olur
99≡3 (mod4) i⁹⁹=i³=-i olduğundan
(x-i)⁹⁹= i⁹⁹ x-i =i x=2i dir



KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ

İki karmaşık sayının birbirine eşit olması için bu karmaşık sayıların karşılıklı olarak reel kısımları birbirine sanal kısımları birbirine eşit olmalıdır.
a,b,c,d εR olmak üzere
a+bi =c+di ↔ ( a=c ve b=d ) dir.

BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

Bir karmaşık sayının sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıya bu karmaşık sayının ‘eşleniği’ denir
a+bi ve a-bi sayılarından biri diğerinin eşleniğidir. Z karmaşık sayısının eşleniği, z̅ şeklinde gösterilir.
Z=a+bi ↔ Z̅=a-bi dir
Bir karmaşık sayının görüntüsü ile eşleniğinin görüntüsü reel eksene göre simetriktir.


b z

0 a
-b z̅

ÖZELLİKLER;

Her Z₁ , Z₂є C için

1. Z̅₁̅+̅Z̅₂̅ = Z̅₁̅ + Z̅₂̅
2. Z̅₁̅.̅Z̅₂̅ = Z̅₁̅ . Z̅₂̅
3. (̅ ̅ ̅ ̅z̅ ̅)̅ =z
4. (̅̅̅̅z̅ⁿ̅̅)̅̅̅̅ = ( ̅z̅̅̅̅)ⁿ
5. Z. Z̅ = |Z|²
6. Z=a+bi Z̅=a-bi olsun
Z . Z̅ = a²+b² olur.


NOT: Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin diskriminantı negatif ise bu denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir.
a,b,c gerçel (reel) sayılar olmak üzere ;
ax²+bx+c=0 denkleminin bir kökü x+yi ise diğeri x-yi dir.

KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) TOPLAMA – ÇIKARMA :
Karmaşık sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yaparken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkartılır.

Zı= a+bi ve Z₂=c+di ise
Z₁+ Z₂ = (a+c) + (b+d)i
Z₁- Z₂= (a-c)+(b-d)i

2) ÇARPMA:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi yaparken çarpma işleminin toplama (veya çıkartma) işlemi üzerime dağılma özelliği kullanılır.
Z₁=a+bi ve Z₂=c+di ise

Z₁.Z₂= ( a + bi ) . ( c + di )



3)BÖLME:
Karmaşık sayılarda pay ve payda , paydanın eşleniğiyle çarpılır.

Z₁/Z₂ = a+bi / c+di → ( a+bi) .(c-di)/(c+di) .(c-di)
Z₁/Z₂ = ac+bd/ c²+d² + (bc- ad)i/c²+d² olur.

NOT: Z=a+bi karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi;
Z¯¹ = a/a²+b² + -bi/a²+b² dir.

BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ
(MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına uzaklığına bu karmaşık sayının ‘mutlak değeri’ veya ‘modülü’ denir ve Z=a+bi sayısının modülü ǀZǀ ile gösterilir.
Karmaşık düzlemde Z=a+bi sayısına karşılık gelen nokta Z ise ZAO dik üçgeninde Pisagor bağıntısından ;
ІZІ²=a²+b² olduğundan ІZІ=√ ̅a̅²̅+̅b̅²̅ dir.


ÖZELLİKLER
1. ІZІ=І-ZІ=ІZ̅І=І-̅Z̅І=ІiZІ=Іi̅Z̅І
2. ІZ₁.Z₂І=ІZ₁І.ІZ₂І
3. ІZ₁/Z₂І = ІZ₁І / ІZ₂І
4. ІZⁿІ=ІZІⁿ
5. Z.Z̅=ІZІ²
6. ІZ₁+Z₂І≤ІZ₁І+ІZ₂І
7. ІZ₁-Z₂І≥ІZ₁І-ІZ₂І dir.




İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK
İki karmaşık sayı arasındaki uzaklık, bu sayıların görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir.
Z₁=a+bi ve Z₂= a₂+b₂i sayıları arasındaki uzaklık ІZ₁-Z₂І=√ ̅̅(̅a̅₁̅-̅a̅₂̅)̅²̅̅+̅̅(̅̅b̅₁̅-̅b̅₂̅)̅²̅
1. ІZ-Z₀| gösterimi Z sayısının Z₀ sayısına uzaklığını belirtir.
2. |Z-Z₀|=r koşuluna uyan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z₀ sayısına uzaklığı r olan noktaların kümesidir. Bu ise Z₀ merkezli r yarıçaplı çemberdir.
3. |Z-Z₀|< r koşuluna uyan Z karmaşık sayılarının kümesi , Z₀ merkezli r yarıçaplı çemberin içidir.
4. |Z-Z₀|> r koşuluna uyan Z karmaşık sayılarının kümesi Z₀ merkezli r yarıçaplı çemberin dışıdır.

KUTUPSAL KOORDİNATLAR
Düzlem üzerinde, başlangıç noktalarından birbirine dikey olarak çizilen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sistemi deyip düzlemdeki bir P noktasını kartezyen koordinatlarda (x,y) ikilisi ile belirtiyoruz.
Şimdide kutup (orjin) adı verilen bir O noktası ile kutupsal eksen adı verilen Ox gibi bir eksen göz önüne alalım. Düzlemdeki bir P noktasını O ile birleştirelim. OP doğrusunun Ox ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıyı Q ile gösterelim.
|OP| = r ise r ve Q’nın bilinmesi ile P noktası belirlenebilir. R ile Q’ya P noktasının kutupsal koordinatları denir ve P(r,Q) ile gösterilir.


P
r
Q x
O


KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL GÖSTERİMİ

y
(M)(a,b) Z= a+bi karmaşık sayısının düzlemde-
b ki görüntüsü M(a,b) ve
r
Q |OM|= r =|Z| = √a̅²̅+̅b̅²̅̅dir
O a x

OHM dik üçgeninde
Cos Q = a/r ⇒ a = r.CosQ
SinQ= b/r ⇒ b = r. SinQ olur.
Bu değerler Z=a+bi de yerine yazılırsa;
Z= r.(CosQ+iSimQ) elde edilir.


k∊Z olmak üzere;
Z = r [Cos (Q+2kπ) + i.Sin(Q+2kπ)] yazılabilir
Z= r(CosQ+iSinQ) yazılışına karmaşık sayının kutupsak biçimi denir.

Q+2kπ açılarına Z’nin argümentleri denir.
0≤Q<2π koşuluna uyan Q açısına Z’nin esas argümenti denir ve ArgZ=0 biçiminde yazılır.

KUTUPSAL ŞEKİLDEKİ KARMAŞIK SAYILARDA
İŞLEMLER
1. TOPLAMA – ÇIKARMA
Kutupsal şekildeki karmaşık sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yaparken;
a) Bu karmaşık sayıların mutlak değerleri aynı ise dönüşüm formülleri kullanılarak toplama veya çıkarma işlemleri yapılabilir.
b) Bu karmaşık sayıların mutlak değerleri farklı ise karmaşık sayılar analitik şekilde (Z=x+yi) yazılarak toplama veya çıkarma işlemi yapılabilir.


2. ÇARPMA
Kutupsal şekildeki iki karmaşık sayı çarpılırken; bu karmaşık sayıların mutlak değerleri çarpılır, argümentleri toplanır.
Z₁.Z₂=|Z₁|.|Z₂|[Cos(Q₁+Q₂)+iSin(Q₁+Q₂)]
Arg(Z₁.Z₂)=Arg(Z₁)+Arg(Z₂) dir.

3 . BÖLME
Kutupsal şekildeki iki karmaşık sayı bölünürken; bu karmaşık sayıların mutlak değerleri bölünür, payın argümentinden paydanınki çıkarılır.

Z₁:Z₂ = |Z₁| : |Z₂| .[Cos(Q₁-Q₂)+iSin(Q₁-Q₂)]
Arg(Z₁:Z₂) = Arg(Z₁) – Arg(Z₂) dir.

KARMAŞIK SAYILARIN KUVVETLERİ
Kutupsal şekildeki bir karmaşık sayının n’inci kuvveti alınırken ; bu karmaşık sayının mutlak değerinin n’inci kuvveti alınır. Argümenti de n ile çarpılır.

Zⁿ=|z|ⁿ(Cos n.Q+iSin n.Q)
Arg(Zⁿ) =n.Arg(Z) dir.
Bu eşitliğe ‘De Moivre’ eşitliği denir.

KARMAŞIK SAYILARIN N’İNCİ KUVVETTEN KÖKLERİ
Z∊C ve n∊z+ o.ü.
Z karmaşık sayısının n’inci kuvvetten köklerini Wk ile gösterelim . Bu durumda ;
W= ⁿ√Z̅ ↔ Wⁿ =Z olur.
Bu denklemin köklerine Z karmaşık sayısının n’inci kuvvetten kökleri denir.
Bu kökleri bulmak için Z karmaşık sayısını kutupsak biçimde yazıp De Moivre eşitliğini kullanacağız.
Wⁿ=Z=|Z|(CosQ+iSinQ)
⇒Wⁿk=Z=|Z|[Cos(Q+2kπ)+iSin(Q+2kπ)]
⇒Wk=Z¹ˡⁿ=|Z|¹ˡⁿ[Cos( (Q+2kπ):n+iSin((Q+2kπ):n)] olur
⇒Wk =ⁿ√Z̅= ⁿ√|̅Z̅|̅. [Cos( (Q+2kπ):n)+iSin((Q+2kπ):n)]
k=0,1,2,.......,n-1 dir.

Buradan bir karmaşık sayının n’inci kuvvetten n tane kökünün olduğu görülür. Bu köklerin mutlak değerkeri birbirine eşit ve ⁿ√̅|̅Z̅|̅ dir.
Köklerin argümentleri ise ;
Arg(ⁿ√̅Z̅)=(Q+2kπ):n den
k=0 için Q:n
k=1 için (Q+2π):n
k=2 için (Q+4π):n ..............
k=n-1 için [Q+2(n-1)π]:n dir.
Buna göre bir Z karmaşık sayısının n’inci kuvvetten köklerinin karmaşık düzlemdeki görüntüleri , merkezi orjinde olan ⁿ√̅|̅Z̅|̅ yarıçaplı çember üzerinde eşit aralıklarla sıralanırç.
KAREKÖK
Z=r(CosQ+iSinQ) olsun
Z₀=√r̅[Cos(Q:2)+iSin(Q:2)]
Z₁=√r̅ [Cos(Q:2+π)+iSin(Q:2+π)]
Z₀= -Z₁ olduğundan Z₀ sayısı ile Z₁ sayısı orijine göre simetriktir.
ArgZ₀ Q:2 ⇒ArgZ₁=(Q:2)+π dir.
NOT: Sıfırdan farklı Z=r (CosQ+iSinQ) karmaşık sayısının n≥3 için n. Kuvvetten köklerinin karmaşık düzlemdeki görüntüleri n köşeli düzgün bir çokgenin köşeleridir.
KÜPKÖK
W³ Z eşitliğini sağlayan W sayısı , Z nin bir küpköküdür.
Z=r[ Cos(Q+2kπ)+iSin(Q+2kπ)] (k∊Z) ise
W³ =Z olan W sayılarını bulalım;
W= p(Cosé+iSiné) olsun
[p(Cosé+iSiné)]³ =Z
p³(Cos3é+iSin3é) = r[Cos(Q+2kπ)+iSin(Q+2kπ)] bu eşitlikten dolayı;
p³=r p=³√r̅ ve 3é=Q+2kπ ⇒ é=(Q+2kπ) :3 o halde;
W=³√r̅ [Cos((Q+2kπ):3)+iSin((Q+2kπ):3)] olur.

NOT: Z= a+bi karmaşık sayısının kareköklerini, kutupsal biçimde çevirmeden aşağıdaki formülle de çevirebiliriz.
1) b>0 için
Z₀,Z₁=±[√(̅|̅Z̅̅|̅+̅a̅):̅2̅̅̅ + i√(̅|̅Z̅|-̅a̅)̅:̅2̅̅]

2)b<0 için
Z₀,Z₁ =±[√̅(̅|̅Z̅|̅+̅a̅):̅2̅ ̅ - i√̅(̅|̅Z̅|̅-̅a̅)̅:̅2̅

BİR KARMAŞIK SAYININ DÖNDÜRÜLMESİ
Z=|Z|.(CosQ+iSinQ) karmaşık düzlemdeki görüntüsünün pozitif yönde α açısı ile döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayıZˈ ise,
Zˈ=|Z|[Cos(Q+α)+iSin(Q+α)]
=|Z|(CosQ+iSinQ)(Cosα+iSinα) olur.
O halde;
Zˈ=Z(cosα+iSinα) dır.
Eğer Z=|Z|(CosQ+iSinQ) karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü negatif yönde α açısı ile döndürülürse elde edilen karmaşık sayı Zⁿ ise; Zⁿ=Z[Cos(-α)+iSin(-α)] dır.

SORULAR
(Not tüm sorularda i²=-1 olarak düşünülecektir.)

1) (i²⁷+i²⁴+3i¹²⁵+i¹⁵²):i+1 ifadesinin eşiti nedir?
ÇÖZ: 27:4⇒kalan 3
24:4⇒kalan 0
125:4⇒kalan 1
152:4⇒kalan 0 dır.
(ݲ⁷+i²⁴+3i¹³⁵+i¹⁵²):i+1 = (i³+iº+3i¹+iº):i+1
(-i+1+3i+1) :i+1=(2+2i):1+i ⇒2 olur.

2) [(1-i)⁷.(1+i)⁷]:32 =?
Çöz: ⇒ [(1-i)(1+i)]⁷:32= (1²-i²)⁷:32
(1-(-1))⁷:32 ⇒2⁷:2⁵ =2²=4

3) [(2+3i)3-2i)]²⁷-i[(i+1): (1-i)]¹⁷ = işleminin sonucu nedir?
ÇÖZ: [(2+3i)(3+2i): (3-2i)(3+2i)]²⁷-i[(1+i)(1+i): ((1-i)(1+i)]¹⁷
[(6+4i+9i-6): (9+4)]²⁷-i[(1+2i-1)1+i)]¹⁷
⇒i²⁷-i¹⁸=1-i

4) (2+i)‾² + (2-i)‾² işleminin sonucu nedir?
ÇÖZ: 1: (4+4i-4) + 1: (4-4i-4)
⇒ (3-4i+3+4i) / (3+4i)(3-4i)= 6/25



5) (1+i)²º + (1-i)²º =?
ÇÖZ: (1+2i-1)¹º+(1-2i-1)¹º
(2i)¹º + (-2i)¹º
⇒2.(2i)¹º =2.2¹º.i¹º=2¹¹.i²
⇒-2¹¹=-2048

6) [(1+i)/(1-i)]⁴⁸=?
ÇÖZ: [(1+2i-1)/2]⁴⁸ = (2i/2)⁴⁸ =0

7) (3-5i)/10+5i sayısının reel kısmı nedir?
ÇÖZ: (3-5i)(10-5i)/(10+5i)(10-5i)
(30-15i-50i-25)/125
⇒(1-13i) / 25 ⇒1/25 + 13i/25
reel kısım =1/25 tir.

8)Z = 1/(2+İ) + 1/(-2+İ) ise im(z̅)değeri nedir?
ÇÖZ: Z=(2-i)/(2+i)(2-i)+ (-2-i)/(-2-i)(-2+i)
Z= (2-i-2-i)/5
Z=-2i/5 olduğundan z̅ =2i/5 bulunur
Öyleyse im(z̅)=2/5 tir.

9) ⁶√-̅6̅4̅.⁵√-̅̅̅3̅2̅̅ .√̅-̅9̅ =?
ÇÖZ: ⁶√̅2̅⁶̅.̅i̅⁶̅.⁵√̅2̅⁵̅i̅¹̅̅º̅.√̅3̅²̅i̅²̅
2.i.2.i².3.i. = 12i⁴=12

10) Z=√3̅ - i ise (z̅)‾¹ sayısının sanal kısmı nedir?
ÇÖZ: z̅=√3̅+i dir.
(z̅)‾¹ = 1/(√3̅+i) ⇒ (√3-i)/4 =√3̅/4 - i/4 olur
yani im(z̅)‾¹ =-1/4 bulunur

11) p(x) =x³+x-1 olduğuna göre P(√-̅4̅ ) işleminin sonucu nedir?
ÇÖZ: √-̅4̅ =2i
P(2i) = (2i)³+2i-1= -8i+2i-1 = -1-6i dir.

12) 13+ [(2-3i)(3-2i)/i] =?
ÇÖZ: 13+ (6-4i-9i-6)/i ⇒ 13+ (-13i)/i =13-13=0


13) f(x,y) =2x +3y+3/x+2/y olduğuna göre f(i³,-i³) nedir?
ÇÖZ: i³=-i ve –i³=-(-i) =i oluğundan
F(i,-i) = 2(-i)+3i+3/-i +2/i
= i+3i-2i=2i

14) Z= x+yi o.ü. z̅ ,z nin eşleniğidir. (1-i)⁴.z̅=1+2i eşitliğini sağlayan z sayısının imajiner kısmı kaçtır?
ÇÖZ: (1-i)⁴.z̅=1+2i ise z̅ (1+2i)/4i²=1+2i/-4 =1/4-1i/2 bulunur. z̅=-1/4-1i/2 eşitliğinden z=-1/4 +i/2 bulunur. İm(z)=1/2

15) Z=x+yi o.ü. Z +|Z| =2+3i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının reel kısmı nedir?
ÇÖZ: x+yi+√̅x̅²̅+̅y̅²̅= 2+3i
X+√̅x̅²̅+̅y̅²̅=2 ve y=3 olmalıdır.
X=-5/4 bulunur.
Re(z) =-5/4

16) z=x+yi o.ü. 3z+2i=z̅-3 eşitliği veriliyor .|z| =?
ÇÖZ: 3(x+yi)+2i=x-3i-yi
3x=x-3 ve 3y +2 =-y
x= -3/2 ve y=-1/2 bulunur.
Z=-3/2-i/2 dir |z|= √1̅0̅ / 2

17) [(1+i)(1-i)]⁸ + 8. [(1+√3̅i)/(1/√3̅i̅)] toplamı nedir?
ÇÖZ: [(1+2i-1)/(2]⁸ +8.[(-2+2√3̅i̅)/4]
i⁸+8[(-1+√3̅i̅)/2] = 1-4+4√3̅i̅
=-3+4√3̅i̅

20) Z= x+yi karmaşık sayısının eşleniği z̅ dir (1-i).z̅ =1+3i eşitliğini sağlayan z kar. Sayısının sanal kısmı nedir?
ÇÖZ: z̅_x-yi (1-i) .z̅ =1+3i
z̅= (1+i+3i-3)/2 ⇒-1+2i ise
z= -1-2i den im(z) = -2 olur.

21) A=√̅-̅6̅4̅ , B=√-̅1̅9̅6̅ , c=√̅-̅4̅9̅ olduğuna göre (A+B).C=?
ÇÖZ: (√-̅6̅4̅+√̅̅-̅1̅9̅6̅) .√̅̅̅-̅̅4̅9̅̅
(8i+14i).7i ⇒ 22i.7i =154i² =-154
22) [(1+i)⁴+(1-i)⁴]/ [(1+i)⁴(1-i)⁴ =?
ÇÖZ: [(1+2i-1)² + (1-2i-1)²]/2⁴
(4i²+4i²)/2⁴ = [2³.(-1)]/2⁴ = -1/2 olur

23)[(2+i)7(1-2i)]⁴⁷ -[(3-i)7(1+3i)] + i⁵⁹ =?
ÇÖZ: [(2+i)(1+2i)/(1-2i)(1+2i)]⁴⁷-[(3-i)(1-3i)7(1+3i)(1-3i)]+i³
[(2+4i+i-2)/5]⁴⁷-[(3-9i-i-3)/10]-i
i⁴⁷+i-i=i⁴⁷=i³=-i olur.

24) f(x,y) =(x⁷-y⁷)7(x¹º+y¹º) o.g. f(i,-i) =?
ÇÖZ: f(i,-i) = [i⁷-(-i)⁷]/ [i¹º+(_i)¹º]
2i³/2i²=i

26) z=x+yi o.ü. z+|z|=7+3i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının reel kısmı nedir?
ÇÖZ: x+yi+√̅x̅²̅+̅y̅²̅=7+3i
X+√̅x̅²̅+̅y̅²̅=7 ve y=3 olur
X= 20/7 bulunur.
Re(z)=20/7

27) z=[(√3̅+i)(3-√7̅i )(√5̅-2i)]/(6+2√7̅i) o.g. z kar. Sayısının mutlak değeri nedir?
ÇÖZ: |z| = [|√3̅+i|.|3-√7̅i||√5̅-2i|]/|6+2√7̅i|
√4̅.√1̅6̅.√9̅ / √6̅4̅ ⇒ 2.4.3./8 =3


28) z=x+yi o.ü. 1-z̅=3z+4i |z| =?
ÇÖZ: 1-x+y,=3x+3yi+4
(1-x)+yi=3x+(3y+4)i
x=1/4 y=-2 |z|=√6̅5/4

29) z karmaşık sayısı Z = (2+3i)(1+4i)‾²/(3-2i) ise |z‾¹| nedir?

ÇÖZ: |z| |2+3i|.|1+4i|‾²/|3-2i|
|z| =1/17 |z-¹|=1/|z|
|z‾¹| =17 bulunur.

30) z bir karmaşık sayı olmak üzere ;
2z=3i+z̅ eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı nedir?
ÇÖZ: 2x+2yi=3i+x-yi
2x +2yi=x+(3-y)i
x=0 ve y=1 olur z=i bulunur
32) z-2i =iz+1 ise z nin sanal kısmı nedir?
ÇÖZ: x+yi-2i=i(x+yi)+1
x+(y-2)i=(1-y)+xi
x+y=1 ve x-y=-2 den x=-1/2 ve y= 3/2 bulunur. İm(Z) = 3/2

33)z= (3-2i)(1+2i)²/(2+3i) ise |z| nedir?
ÇÖZ: |z| =|3-2i|.|1+2i|²/|2+3i|
⇒ √1̅3̅.5/√1̅3̅ = 5 bulunur.

34) (1+i)²+(1+i)³+(1+i)⁴=x+yi ise x+y =?
Çöz: x+yi= (1+i)² [1+(1+i)+(1+i)²]
= (1+2i-1)(1+1+i+1+2i-1)
=x+yi= 4i-6 ⇒xx=-6 y=4 olur
x+y=-2 bulunur.
35) (1+i)⁶-(1-i)⁶ =?
ÇÖZ: [(1+i)²]³-[(1-i)²]³
=(1+2i-2)³-(1-2i-1)³
=(2i)³-(-2i)³ ⇒ -8i-8i =-16i
36) z=x+yi karmaşık sayısı için |z+1-i|=|z-1+i| bağıntısının belirlediği doğrunun denklemi nedir?
ÇÖZ: |x+yi+1-i|=|x+yi-1+i|
√(̅x̅̅+̅1)̅²̅+̅ (̅y̅-̅1̅)̅²̅̅ =√̅̅̅̅̅(̅̅̅x̅̅-̅1̅)̅²̅̅̅̅+(y̅+̅1)²̅̅
=x² +2x+1+y²-2y+1= x²-2x+1+y²+2y+1
2x-2y=-2x+2y
x=y buluruz.
38)A,B,C bir üçgenin iç açılarının ölçüleri olmak üzere z₁=2(CosA+iSinA) z₂=4(CosB+iSinB) z₃=6(cosC+isinC)
ise Z₁.Z₂.Z₃=?
ÇÖZ:z₁.z₂.z₃ =2.4.6.cis(A+B+C) [cis(A+B+C)= Cis(180)] ⇒
48 cis180 = -48

39) z=2cis(π/6) kompleks sayısı için
(1-z)(1+z+z²) ifadesi =?
ÇÖZ: (1-z)(1+z+z²)=1-z³ dür.
Z= 2cisπ/6 ⇒ z³=8cisπ/2 ⇒z³=8i olur.
1-z³= 1-8i elde edilir.
40) (cos111º+isin111º)(cos88º+isin88º) =?
cos19º+isin19º

ÇÖZ:cis(111º+88º-19º) =cis180º
Cos180º+isin180º
=-1
__________________