KARTEZYEN ÇARPIM – BAĞINTI

A. SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir.
a  b ise, (a, b)  (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x  A ve y  B} dir.
A  B ise, A x B  B x A dır.

C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ
I) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.
II) A x (B x C) = (A x B) x C
III) A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
IV) (B  C) x A = (B x A)  (C x A)
V) A x (B  C) = (A x B)  (A x C)
VI) A x  =  x A = 
VII)


D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle  biçiminde gösterilir.
 A x B ise,  = {(x, y) : (x, y)  A x B} dir.

* s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.

* A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r  m . n) bağıntı sayısı


*   A x B olmak üzere,
 = {(x, y) : (x, y)  A x B} bağıntısının tersi
-1  B x A dır.
Buna göre,  bağıntısının tersi
-1 = {(y, x) : (x, y)  } dır.

E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)  ise,  yansıyandır.
x  A için, (x, x)  yansıyandır.

2. Simetri Özeliği
 bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x)  ise,  simetriktir.
(x, y)  için (y, x)  simetriktir.

*  bağıntısı simetrik ise  = -1 dir.
* s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.
* s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n - n) dir.

3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x  y iken (x, y)  için (y, x)  ise,  ters simetriktir.

 bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.

4. Geçişme Özeliği
, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

olmalı
 bağıntısının geçişme özelliği vardır.

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
 bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.

*  denklik bağıntısı ve (x, y)  ise, x denktir. y ye denir.
x  y biçiminde gösterilir.

*  denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
biçiminde gösterilir.
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
= {y : y  A ve (a, y) } olur.

2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.