KESİRLER

Eş parçalara bölünmüş bir bütünün,eş parçalarından birini veya birkaçını ifade eden sayılara kesir sayısı denir.

Örn1: a,b  N ve b  0 olmak üzere a/b bir kesirdir.
A’ya pay , b’ye ise payda denir.

KESİR BİRİMİ
Payı bir olan kesirlere kesir birimi denir.

Örn2:
- “1/2” kesri bir kesir birimidir.

- “1/2” kesri paydaları 2 olan kesirlerin birimidir.


DOĞAL SAYILARI KESİR SAYISI OLARAK GÖSTERME
Her doğal sayının 1’e bölünmesi,kendisine eşittir.Doğal sayılar paydasına 1 yazılarak kesir şeklinde gösterilebilir.

Örn3: “5” doğal sayısını kesir olarak yazalım.

5= 5
1

Örn4: “0” doğal sayısını kesir olarak yazalım.

0= 0
1

Örn5: “1089563248” doğal sayısını kesir olarak yazalım.

1089563248= 1089563248
1

1)KESİR ÇEŞİTLERİ
KESİRLER



Basit Kesir Tam Sayılı
Bileşik Kesir Kesir
a) Basit Kesir
Payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

Örn7: 5/19 , 89/500 , 189123/273747 ...

b)Bileşik Kesir
Payı paydasından büyük veya payı paydasına eşit olan kesirlere
bileşik kesir denir.

Örn8:19/10 , 20/20 , 37529/12 , 20875/20875 ...

c)Tam Sayılı Kesir
Bir sayma sayısı ve bir basit kesir ile yazılan kesirlere,tam sayılı kesir denir.

Örn9:

2)KESİRLERİ SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

Örn10: kesirlerini sayı doğrusunda gösterelim;





Sayı doğrusu üzerinde,ardışık 2 doğal sayının arası 3 eş parçaya bölünmüştür.Her eş parça aralığın 1 ‘ ü kadardır.
3

3) BİLEŞİK KESRİ TAM SAYILI KESRE ÇEVİRME

Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirirken,kesrin payı paydasına bölünür.Bölüm tam sayı, bölen payda, kalan ise pay olarak yazılır.

Örn11: 9 9 4
4 - 8 2
4

4) TAM SAYILI KESRİ BİLEŞİK KESRE ÇEVİRME

Bir tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmek için; tam sayı payda ile çarpılır.Çarpım pay ile toplanır, payda pay olarak aynen yazılır.



Örn13: (4.4)+3 16+3 19
4 4 4

5) DENK KESİRLER
Denk Kesirler:Bir bütünün
Aynı büyüklükteki kısmını
Gösteren kesirlere denk
Kesirler denir.

Denk olan 2 kesirden birincisinin
Payı ile ikincisinin paydasının çarpımı;
Birincisinin paydası ile ikincisinin payının çarpımına eşittir.

Örn14: 1 3 1.6 = 6
2 6 2.3 = 6

Örn15: 2 4 2.8 = 4.4
4 8 16 = 16


 Denk kesirler ;  sembolü ile ifade edilir.

6) KESİRLERDE GENİŞLETME İŞLEMİ
Herhangi bir kesrin, pay ve paydası aynı sayma sayısı ile çarpılırsa;kesrin değeri değişmez.Kesir genişletilmiş olur.
• Bir kesir ile genişletilmişi denktir.

Örn16: 3 . 4 = 12  Yani, 3/7  12/28
7 . 4 = 28

7) KESİRLERDE SADELEŞTİRME İŞLEMİ
Herhangi bir kesrin pay ve paydası aynı sayma sayısına bölünürse, kesrin değeri değişmez.Kesir sadeleştirilmiş olur.

Örn17: 32 : 2 = 16
20 : 2 = 10

8) KESİRLERDE SIRALAMA
a)Paydaları Eşit Olan Kesirlerde Sıralama
Paydaları eşit olan kesirlerde , payı en büyük olan kesir en büyüktür.

Örn18: 6 2 8 kesirlerini artan sırada sıralıyalım.
8 8 8

2  6  8
8 8 8

b)Payları Eşit Olan Kesirlerde Sıralama
Payları eşit olan kesirlerde, paydası küçük olan en büyüktür.

Örn19: 4 4 4 kesirlerini azalan sırada sıralıyalım.
9 5 4

4  4  4
4 5 9

c)Payları veya Paydaları Eşit Olmayan Kesirlerde Sıralama
Örn20: 3 2 5 kesirlerini küçükten büyüğe doğru sıralıyalım.
4 3 6
Paydaları eşitlemek için paydadaki sayıların ekok’ı bulunur.

(3 ; 4 ; 6)ekok = 12’dir.

12 : 3 = 4
12 : 4 = 3 genişletme sayıları
12 : 6 = 2

3 2 5 9 8 10 8  9  10
4 3 6 12 12 12 12 12 12
(3) (4) (2)



RASYONEL SAYILAR

Rasyonel Sayı: Denk kesirlerin oluşturduğu her kümeye rasyonel sayı denir.
Rasyonel ssayılar Q sembolü ile ifade edilir.

Her kesre denk sınırsız sayıda kesir olduğundan her grupta sınırsız sayıda küme vardır.Aynı zamanda, bu gruplardan sınırsız sayıda vardır.Bu grupları “1.grup”,”2.grup”,”3.grup”,”4.grup”,...... şeklinde adlandırabileceğimiz gibi “1/2 kümesinin bulunduğu grup”,”3/1 kümesinin bulunduğu grup”,”22/7 kümesinin bulunduğu grup” diye de adlandırabiliriz.Aslında genellikle her grupta bulunan kümelerin ait olmasını kullanarak adlandırırız.Mesela; 1.gruba “1/2 kümesinin bulunduğu grup” yerine kısaca “1/2” diye de adlandırırız.



1.GRUP 2.GRUP 3.GRUP 4.GRUP ................
1/2 3/1 22/7 ...................... ......................
2/4 6/2 44/14 ...................... ......................
....... ...... ...... ...................... ......................



1)RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
Paydaları Eşit Rasyonel Sayılarda Toplama İşlemi

1) Tam sayılar toplanır, tam sayı yazılır.(varsa)
2) Paylar toplanır pay yazılır.
3) Payda aynen yazılır.

Örnekler

1) 3 + 2 3+2 5
8 8 8 8

2) 5 + 1 + 4 5+1+4 10
9 9 9 9 9
3) 1 + 1 yarım + yarım =1
2 2

Paydaları Eşit Olmayan Rasyonel Sayılarda Toplama İşlemi
1) Paydadaki sayıların ekok’u bulunur.
2) Paydalar ekok’u verecek şekilde uygun sayılarla genişletilerek eşitlenir.
3) Paydaları eşit rasyonel sayılardaki gibi toplanır.

Örnekler

4) 7 + 3 7 + 6 7+6 13
8 4 8 8 8 8
(1) (2)

5) 2 + 3 + 1 ? (2 ; 3 ; 4)ekok =12
3 2 4
2 + 3 + 1 8 + 18 + 3
3 2 4 12 12 12
(4) (6) (3)

RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1)KAPALILIK ÖZELLİĞİ

2  Q ve 3  Q için 2/7+3/7= 5/7  Q
7 7

Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi iki veya daha fazla rasyonel sayının toplamı daima bir rasyonel sayıdır.Buna rasyonel sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalılık özelliği denir.

2)DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

2 + 5 7
9 9 9 2 + 5 = 5 + 2
9 9 9 9
5 + 2 7
9 9 9

Toplama işleminde, terimlerin yeri değişince toplam değişmez.Buna toplama işleminin değişme özelliği denir.

3)BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

1  Q
7

2  Q için 1 + 2 + 3 toplamını iki değişik gruplama ile
7 7 7 7 ? yapalım.
=
3  Q 1/7 + 2/7 + 3/7 1/7 + 2/7 + 3/7
7 3/7 + 3/7 1/7 + 5/7

6/7 6/7

Sonuçları eşittir.
3) ETKİSİZ ELEMAN
3 + 0 3
4 4


Yukarıda görüldüğü gibi sıfır ile bir rasyonel sayının toplamı rasyonel sayının kendisine eşittir.
Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı (birimi) “sıfır” (0) dır.


2)RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
Paydaları Eşit Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi

1) Tam sayılar farkı, tam sayı yazılır.
2) Paylar farkı, pay yazılır.
3) Payda aynen yazılır.

Örn6: 7 _ 3 7 –3 4
10 10 10 10

Paydaları Eşit Olmayan Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi

1) Paydaların ekok’u bulunur.
2) Paydalar, ekok’u verecek şekilde uygun sayılarla genişletilerek
eşitlenir.
3) Paydaları eşit kesirlerde gibi çıkarılır.

Örn7: 5 _ 2 5 _ 4 1
8 4 8 8 8
(1) (2)

RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Rasyonel sayılar kümesinde;
 Çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
 Çıkarma işleminin birleşme özelliği yoktur.
 Çıkarma işleminin etkisiz elemanı yoktur.

3)RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
1) Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.
2) Varsa,sadeleştirme yapılır.
3) Paylar çarpılır paya yazılır.
4) Paydalar çarpılır paydaya yazılır.
Örn8: 1 1
4  3 1  1 1
9 8 3  2 6
3 2
RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1)KAPALILIK ÖZELLİĞİ

3  Q ve 2  Q için 3/5  2/7 = 6/35  Q
5 7

Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi iki rasyonel sayının çarpımı, yine bir rasyonel sayıdır.Bu özelliğe, rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir.

2)DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

Örn9: 5/7  2/3 = 2/3  5/7
10/27 = 10/27

Rasyonel sayıların çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez.Bu özelliğe çarpma işleminin değişme özelliği denir.

3)BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

3  Q
7

2  Q Rasyonel sayılarının çarpımını iki ayrı gruplama yolu ile
5 yapalım.
?
1  Q =
3 3/7  2/5  1/3 3/7 2/5  1/3
6/35  1/3 3/7  2/15
6/105 6/105
sonuçları
eşittir



Rasyonel sayıların çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa, çarpım değişmez.Bu özelliğe, çarpma işleminin birleşme özelliği denir.

4)ETKİSİZ ELEMAN

3/5  1 = 3/5

Yukarıda görüldüğü gibi,her rasyonel sayının bir ile çarpımı sayının kendisine eşittir.1 sayısı çarptığı sayıyı etkilemez.1 sayısına çarpma işleminin etkisiz elemanı denir.

5)YUTAN ELEMAN

1/6  0 = 0 Her rasyonel sayının 0 ile çarpımı sıfırdır.Sıfır sayısına çarpma işleminin yutan elemanı denir.

6)ÇARPMA İŞLEMİNİN TOPLAMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

2  1 + 2 = 2  1 + 2  2
3 5 5 3 5 3 5 İÇİN;


Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.


7)ÇARPMA İŞLEMİNİN ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

2  4 _ 2 = 2  4 _ 2  2
3 7 7 3 7 3 7 İÇİN;


Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

RASYONEL SAYININ ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

Çarpımları 1’e eşit olan rasyonel sayı çiftlerine çarpma işlemine göre bir birinin tersi rasyonel sayılar denir.

a/b  Q ise a/b’nin çarpmaya göre tersi b/a’dır.

4)RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

1) Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.
2) Birinci kesir aynı kalır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.


2 1
Örn10: 4/5 : 2/3 = 4/5  3/2 = 6/5


6)ÖRNEKLER VE ÖRNEK SORULAR

1) Bir tepsi baklava 20 porsiyona bölünmüştür.Ahmet 2 porsiyon, Mehmet 1 porsiyon, Murat 3 porsiyon yemiştir.Buna göre, yenilen baklava bir tepsi baklavanın kaçta kaçıdır?

2 + 1 + 3 = 2+1+3 = 6 = 3
20 20 20 20 20 20


2) 3 + a = 1 + 2 ise a yerine gelecek sayı kaçtır?
12 4 3

3+a = 1 + 2 = 3 + 8 = 3 + 8
12 4 3 12 12 12

3+a = 3+8
a = 8’dir.

3) 40 tane karpuzun 5/8 ‘İ satıldığına göre, geriye kaç tane karpuz kalmıştır?

40 tane karpuzu 8 eş gruba ayıralım.Grupların birinde, 40:8 = 5 karpuz vardır. Satılan karpuz 5 eş gruptur. 5 eş grupta 5 x 5 =25 tane karpuz olduğuna göre; geriye 40 – 25 = 15 karpuz kalır.
Kısaca; 40x5/8 =200/8=25 tane karpuz satılmıştır.Geriye, 40 – 25 = 15 tane karpuz kalmıştır.

4) Bir sınıfın 1/6 sının 1/5’i gözlüklü öğrencidir. Gözlüklü öğrenciler sınıfın kaçta kaçıdır?

Bir kesrin verilen kesrini bulmak için bu kesirler çarpılır.
Gözlüklü öğrenciler sınıfın 1/6 x 1/5 = 1/30 ‘udur.

5) Bir top kumaşın önce 1/8 i, sonra kalanının 3/7 si elbise için kullanlıyor.Geriye 97 metre kumaş kaldığına göre , bir top kumaş kaç metre’dir?

Kumaşın 1/8 i kullanıldığında, bir top kumaşın 8/8 – 1/8 = 7/8 ‘i kalır.Kalan kumaşın 3/7 si, bir top kumaşın 7/8 x 3/7 = 3/8 idir.Kullanılan kumaş, bir top kumaşın 1/8 + 3/8 = 4/8 = ½ sidir. Geriye bir top kumaşın 2/2-1/2=1/2 si kalır.
Bir top kumaşın ½ si 97 metre olduğuna göre, tamamı 97x2=194 m olur.

6) Bir bidonda bir miktar su vardır.Bidona bir miktar su ilave edilirse, bidonun ¾ ü doluyor.Bidondan aynı miktarda su boşaltılırsa, bidonun ¼ ünde su kalıyor.Bidonun kaçta kaçında su vardır?

Eksiltilen ya da ilave edilen su, bidonun 1/4x2=2/4=1/2 sidir.O halde bidonun ½ sinde su vardır.

7) a ve b doğal sayılardır. A/13 basit kesir, 24/b bileşik kesir olduğuna göre, a+b ‘nin alabileceği en büyük değer kaç olur?

A’nın alabileceği en büyük değer 12 , b nin alabileceği en büyük değer ise 24 tür. A+b ‘nin alabileceği en büyük değer, 24+12=36 olur.

8) Bir havuza su akıtan 2 musluktan biri boş havuzu 5 saate, diğeri 10 saate doldurabiliyor.Havuzun tabanında bulunan üçüncü bir musluk ise su dolu havuzu 20 saate boşaltabiliyor.Üç musluk birlikte açıldığında, boş olan havuz kaç saate dolar.

5 saat 10 saat








20 saat


Havuza su akıtan musluklardan biri 1 saate havuzun 1/5 inin,diğeri 1/10 inin doluduru.İkisi birlikte 1 saate havuzun; 1/5+1/10=2/10+1/10=3/10unu
(2)
doldurur.Havuzun tabanındaki üçüncü musluğun 1 saate boşalttığı su havuzun 1/20 sidir.Üç musluk birlikte açıldığında, 1 saate boş havuzda biriken su, havuzun 3/10-1/20=6/20-1/20=5/10=1/4 idir.
(2)
Bir saate ¼ ü dolduğuna göre tamamı 4 saatte dolar.


BUNLARI BİLİYOR MUSUNUZ?

Rasyonel (rational) kelimesinin kökeni , oran (ratio) kelimesinden gelmektedir.Çünkü rasyonel sayılar, a ve b tam sayılar olmak üzere a/b şeklinde yani oran formunda gösterilir.İrrasyonel kelimesinin ise anlamı gayet açıktır, rasyonel olmayan.

Rasyonel sayılar için “Q” sembolünü ve tam sayılar için “Z” sembolünü,1930 yılında matematikte bütünlük sağlamak amacıyla biraraya gelen , çoğu Fransız bilimadamlarının oluşturduğu; N.Bourbaki grubundaki matematikçiler kullanmıştır.