SÜPER POZİSYON TEOREMİ


Süper pozisyon yöntemi birden fazla kaynak içeren devrelerde uygulanır. Herhangi bir elemana ilişkin akım değeri bulunmak istendiğinde, devredeki bir kaynak korunup diğer tüm kaynaklar (iç empedansları hariç tutularak) devre dışına çıkarılır (kaynakların devre dışına çıkarılması demek gerilim kaynaklarının kısa devre, akım kaynaklarının ise açık devre yapılması anlamına gelir). Bu şartlar altında istenen akım fazörü bulunur. Daha sonra ise devrede tutulan kaynak devre dışına çıkarılarak (iç empedansı hariç ) bir önceki adımda devre dışında tutulan kaynaklardan birisi devreye konulur ve istenilen elemana ilişkin akım fazörü tekrar hesaplanır.Bu işlem tüm kaynaklar aynı işleme tabii tutuluncaya kadar devam eder. Son adımda ise hesaplanan tüm akım fazörleri toplanır ve elemanın gerçek akım fazörü elde edilir. Süper pozisyon teoremi yalnız eleman akımlarının hesaplanmasında değil, eleman gerilimlerinin hesaplanmasında da benzer şekilde uygulanır.

Örnek 1 ;











Şekilde verilen devrede kaynak empedansları ihmal edildiğine göre rezistans üzerinden akan akım değerini süper pozisyon teoremini kullanarak bulunuz.

Çözüm :











Önce ikinci gerilim kaynağı kısa devre yapılmalıdır. Ortaya çıkan yeni devre yukarıdaki şekilde gösterilmiştir. Kaynaktan bakıldığında görülen empedans değeri ;

Z = XC1 + (R //XC2) =XC1 +R*XC2/R+XC2

XC1 = 1 / 2p (100) (0,02 * 0,001)= 79,58W

XC2 = 1 / 2p (100) (0,01 * 0,001)= 159,15W

Z = 79,58Ð -90° + 50Ð0° * 159,15Ð -90° / 50Ð0° + 159,15Ð -90°

Z = 104,32 Ð -64,13° W

bulunur.

Kaynaktan çekilen akım ;

IK1 = VK1 / Z =80Ð0° / 104,32Ð -64,13 =0,766Ð 64,13° A

elde edilir. Rezistans üzerinden geçen akım değeri akım bölücü ifadesi kullanılarak ;

IR1 = (XC2 Ð -90° / R – j XC2) * IK1

IR1 = (159,15Ð-90° / 50-j 159,15) *(0,766Ð 64,13°)

IR1 = 0,73 Ð 46,7° A

elde edilir.

İkinci adım olarak VK kısa devre edilerek devrede yalnızca VK2 bırakılır. Bu durumda elde edilen devre aşağıdaki şekilde verilmiştir.










Kaynaktan bakıldığında görülen empedans değeri ;

Z = XC2 + R*XC1 / R+XC1

Z= 159,15Ð -90° + 50Ð 0°* 79,58 Ð -90° / 50Ð 0° + 79,58Ð -90°

Z= 185,17Ð -78,84° W

bulunur.

Kaynaktan çekilen akım ;

IK2 =VK2 / Z =50Ð0° / 185,17Ð -78,84 = 0,27Ð 78,84° A

elde edilir.Rezistans üzerinden gecen akım değeri akım bölücü ifadesi kullanılarak ;

IR2 = (XC1Ð -90° /R - jXC1) IK2

IR2 = (79,58 Ð -90° / 50 - j79,58)*(0,27Ð78,84°) A

IR2 = 0,23 Ð 46,7° A

elde edilir.

Rezistans üzerinden akan akım miktarı her iki adım sonucu bulunan akımların toplamına eşit olacağından ;

IR = IR1 + IR2 = 0,73Ð 46,7° + 0,23 Ð46,7° A

IR = 0,958Ð46,73° A

bulunur.









Örnek 2;










Yukarıda verilen devrede kaynak empedansları ihmal edildiğine göre bobin üzerinden akan akımı süper pozisyon teoremini kullanarak bulunuz.

Çözüm ;

Önce IK2 kaynağı devre dışına çıkarılmalıdır. Akım kaynağının devre dışına çıkarılması kaynağın açık devre yapılması anlamına gelir. IK2 akım kaynağı açık devre yapıldığında bobin üzerinden geçen akım yalnızca IK1 akımı olacağından ;

IL1 = IK1 = 0,5Ð 0° A

olur.

İkinci adım olarak IK1 akım kaynağı devre dışına çıkarılmalıdır. Bu durumda L ve C akım kaynağına seri olarak bağlı olacaktır. Akım kaynağına seri olarak bağlanan yükler akım kaynağının değerinin değişmesinde etkili olamadıkları için ;

IL2 = IK2 = 1Ð 90°

elde edilir.

Bobin üzerinden akan akım değeri ise ;

IL = IL1 + IL2 = 0,5Ð 0° +1Ð 90°

IL = 0,5 + j1= 1,118Ð 63,43° A

bulunur.



Alternatif akım devresini basitleştirerek onu eşdeğer bir alternatif gerilim kaynağı ve bu kaynağa seri bağlı eşdeger empedansa dönüştürmek için thevenin
teoreminden faydalanılır.Thevenin teoreminin alternatif akım devrelerine uygulanışındaki tek fark, doğru akım devrelerindeki kaynağın yerini alternatif gerilim kaynağı, rezistansın yerini ise empedansın almasıdır.

Şekildeki devrede thevenin eşdeğer devresi gösterilmiştir. Verilen devre ne kadar karışık olursa olsun thevenin teoremi kullanılarak devrede gösterilen forma sokulabilir. Burada yapılması gereken işlem Vth ve Zth fazör değerlerinin, basitleştirilmesi istenen devrenin elemanları yardımıyla bulunmasıdır. Zth değeri omik, endüktif, kapasitif veya bunların kombinasyonlarından oluşabilir.









Thevenin eşdeğer gerilimi (Vth):

Vth gerilimi, yükün bağlandığı uçlar arasından bakıldığında ölçülen gerilim fazörüne eşittir. Bu hesaplama yapılırken yük devre dışına çıkarılır, diğer bir ifade ile yük uçları açık bırakılır ve hesaplamalara dahil edilmez. Aşağıda verilen problem Vth değerinin hesabını göstermektedir.

Örnek 3 ;









Şekilde verilen devrede A – B uçları arasından görülen Vth değerini bulunuz.



Çözüm ;

Ryük devre dışına çıkarıldığında A-B uçları arasından bakıldığında bulunan gerilim (Vth) ile XL uçları arasındaki gerilim değeri aynıdır. Gerilim bölücü ifadesi kullanılarak XL uçları arasındaki gerilim değeri ;

VL = (XL Ð 90° / R + jXL) Vk =(25Ð90°/50+j25)*150Ð0°
=(25Ð90° / 55,9 Ð 26,56°) *150Ð0°

VL = VAB = Vth =67,084Ð 63,44° V

bulunur.

Thevenin eşdeğer empedansı (Zth):

Zth empedansı, yükün bağlandığı uçlar arasından bakıldığında ölçülen empedans fazörüne eşittir. Bu hesaplama yapılırken devredeki kaynaklar (iç empedansları hariç ) devre dışına çıkarılır, diğer bir ifade ile gerilim kaynakları kısa devre, akım kaynakları ise açık devre yapılır. Zth bulunurken yük devre dışına çıkarılır, diğer bir ifade ile yük uçları açık bırakılır ve empedans hesabına dahil edilmez. Aşağıda verilen problem daha önce verilen ve Vth hesaplamaları yapılan devrenin Zth değerlerinin hesabını göstermektedir.

Örnek 4 ;








Şekilde verilen devrede (Ryük devre dışına çıkarıldığında ) A-B uçları arasından görülen Zth değerini bulunuz.

Çözüm ;







Ryük devreden uzaklaştırılıp gerilim kaynağı kısa devre yapıldığında ,AB uçları arasından bakıldığında görülen thevenin empedans değeri aşağı hesaplanmıştır.

Zth = (RÐ 0° ) ( XL Ð 90°) / R +jXL = ( 50 Ð0° ) ( 25Ð90°) / 50+j25
= 1250 Ð 90° / 55,901 Ð 26,56° = 22,361 Ð 63,44° W

Thevenin eşdeğer devresi ;

Daha önceden de bahsedildiği gibi karmaşık bir devrenin thevenin eşdeğeri, Vth değerinde bir gerilim kaynağı ile buna Zth değerinde bir empedansın seri bağlanması ile bulunur. Bundan önce verilen problemde devrenin Vth ve Zth değerleri bulunmuştur. Aşağıda verilen problemde bulunan sonuçlar toplanacaktır.

Örnek 5 ;









Şekilde verilen devrede AB uçları arasından bakıldığında görülen thevenin eşdeğerini bulunuz.

Çözüm;

Şekilde verilen devrenin Vth gerilim değeri örnek 3’te Vth = 67,084Ð63,44° volt olarak bulunmuştu. Aynı devrenin Zth empedans değeri ise örnek 4’te
Zth = 22,361Ð63,44°W = 10,11 + j20W olarak bulunmuştu.











Thevenin teoreminin özeti ;

Karmaşık devrenin yükü kaldırılıp yerine başka bir yük bağlandığında yeni yükün çektiği akım ve uçları arasındaki gerilim değerini bulmak için karmaşık işlemlerin tekrar yapılması gerekir. Karmaşık bir devrenin terine kullanılabilen thevenin eşdeğer devresinin en önemli avantajı ise, yük kaldırılıp yerine yeni yük bağlandığında thevenin eşdeğer devresi değişmeyeceğinden (yalnızca thevenin devresinin çıkışına bağlanan yük değişeceğinden), thevenin devresinde çözüm yapılması yeterli olmaktadır. Thevenin devresi gerilim kaynağı ve ona seri bağlı bir empedansı içerdiğinden, bunun çıkışına yeni bir yük bağlandığında, yük akım ve gerilimini bulmak için yapılacak işlem kısa sürede tamamlanabilir. Thevenin teoremi dört adımda özetlenebilir;


ØThevenin eşdeğerini bulmak için devreye hangi iki uç arasından bakılıyor ise bu uçlar açık devre yapılır ve bu uçlara bağlı empedans devreden uzaklaştırılır.
ØBu iki uç arasındaki Vth gerilim değeri hesaplanır.
ØDevredeki tüm kaynaklar devre dışına çıkarılarak (iç empedansları hariç) iki uç arasındaki Zth empedans değeri hesaplanır. Kaynakların devre dışına çıkarılması, akım kaynaklarının kısa devre, gerilim kaynaklarının açık devre yapılması anlamına gelir.
Øİkinci ve üçüncü adımlardan bulunan Vth ve Zth değerleri seri olarak bağlanarak thevenin eşdeğer devresi oluşturulur. Thevenin eşdeğer devresi başlangıçta açık devre yapılan iki uç arasına bağlanır.
















NORTON TEOREMİ ;

Norton teoremi de thevenin teoremi gibi karmaşık devrelerin birleştirilmesi için geliştirilmiştir. Norton teoreminde kullanılan eşdeğer devre, IN akım kaynağı ve ona paralel ZN empedansından meydana gelir. Norton teoremi bu iki eleman değerinin hesaplanmasını açıklar. Aşağıdaki şekilde norton eşdeğer devresi gösterilmiştir.










Norton eşdeğer akım kaynağı (IN) ;

IN, verilen devrede iki nokta (A-B) arasındaki kısa devre akım değeri olarak tanımlanabilir. Aşağıdaki şekil (a)’da verilen (kutu içinde) karmaşık devrenin çıkışına (A-B) arasına bağlanan yük (şekilde Ryük) kaldırılır ve çıkış kısa devre yapılırsa, A-B arasından akan akım fazör değeri (şekil (b)) IN bulunur.








Örnek 6 ;

Aşağıdaki şekilde verilen devrede A-B uçları kısa devre yapıldığında ölçülen IN değerini bulunuz.








Çözüm ;

Yukarıdaki verilen devrede A-B uçları kısa devre yapılırsa aşağıda görülen devre bulunur. Aşağıdaki şekilde kaynaktan bakıldığında görülen eşdeğer empedans ;

Z=XC1+R*XC2 / R+XC2 = 15Ð-90°+(5Ð0°)(15Ð-90°) / 5-j15 = 17,1Ð74,7°W

bulunur. Kaynaktan çekilen akım değeri ise ;








IK = VK / Z = 10Ð0° / 17,1Ð74,7° =0,584Ð-74,7° A

elde edilir. A-B uçları arasından akan akım ise akım bölücü ifadesi kullanılarak ;

IN=(R/R+XC2)Ik=(5Ð0°/5-j15)(0,584Ð-74,7°)=0,184Ð-3,14°W

bulunur.

Norton eşdeğer empedansı (ZN) ;

Norton eşdeğer devresinde kullanılan ZN empedansı, verilen devrede kaynaklar devre dışında bırakıldığında A-B uçları arasından bakıldığında görülen eşdeğer empedans değerine eşittir. Bu tanıma bakıldığında ZN = Zth olduğu anlaşılır.

Örnek 7 ;

Örnek 6’daki şekilde verilen devrede A-B uçları arasından bakıldığından ölçülen ZN değerini bulunuz.

Çözüm ;

Örnek 6’da verilen devrede A-B uçları arası açık devre ve gerilim kaynağı kısa devre yapılırsa aşağıda verilen devre bulunur. Aşağıdaki şekilde kaynaktan bakıldığında görülen eşdeğer empedans ;

ZN=XC2+R*XC1/R+XC1=15Ð-90°+(5Ð0°)(15Ð-90°)/5-j15=17,1Ð-74,7°W









ZN=4,51-j16,5W

bulunur.

Norton teoreminin özeti;

Norton teoreminin faydası thevenin teoremi ile aynıdır.Bazı devrelerde thevenin eşdeğer devresinin kullanılması uygun olurken bazı devrelerde basitleştirme sağlamak için norton teoreminin kullanılması hesaplamaları kolaylaştırır. Norton teoremini dört adımda özetleyebiliriz.

ØNorton eşdeğerini bulmak için devreye hangi iki uç arasından bakılıyorsa bu uçlar kısa devre yapılır.
ØDevrede tüm kaynaklar mevcutken kısa devre yapılan iki uç arasından akan IN akım değeri hesaplanır.
ØDevredeki tüm kaynaklar devre dışına çıkarılarak , iki uç ise açık devre yapılarak iki uç arasından görülen ZN empedans değeri hesaplanır. Kaynakların devre dışına çıkarılması , akım kaynaklarının kısa devre ,gerilim kaynaklarının açık devre yapılması anlamına gelir.
Øİkinci ve üçüncü adımlardan bulunan IN akım kaynağına ZN değeri paralel olarak bağlanır ve norton eşdeğer devresi bulunur. Norton eşdeğer devresi başlangıçta açık devre yapılan iki uç arasına bağlanır.













Bir devre çıkışına bağlanan yükün o devreden maximum güç çekebilmesi için, yük empedansı devre çıkış empedansının kompleks eşlenik değerine eşit olmalıdır. Bu ifade maximum güç transfer teoremi olarak adlandırılır.

Maximum güç transfer teoremi başka bir şekilde de ifade edilebilir ; Bir devre çıkışına bağlanan yükün o devreden maximum güç çekebilmesi için ,devrenin yükün bağlandığı uçlar arasından bakıldığında görülen thevenin empedansının kompleks eşleneği , yük empedansına eşit olmalıdır. Eğer devre çıkışına bağlanan yük değeri Zyük = a + jb ise bunun kompleks eşleniği Zyük = a – jb
olur.

Örnek 8;

Karmaşık bir devrenin A-B uçları arasından bakıldığında görülen thevenin eşdeğer empedansının 20W değerinde omik bir yük ile buna seri bağlı
L= 0,159 H değerinde bir bobinden oluştuğu görülmüştür. Karmaşık devrenin A-B uçları arasında bakıldığında görülen thevenin kaynak gerilim değeri ise
f= 50 Hz için Vth =30Ð0° V (etkin) olarak hesaplanmaktadır. Verilen karmaşık devrenin çıkışına R=20W değerinde omik bir yük ve buna seri bağlı C= 63,66mF
değerinde bir kapasitör bağlanmaktadır. f= 20Hz , 50Hz ve 100Hz için yükün çektiği aktif güç değerlerini bulunuz.

Çözüm;

Aşağıdaki şekilde verilen devre gösterilmiştir.









f= 20Hz için

XC= 1/ 2p * 20 * 63,66 * 0,000001 = 125W

XL = 2p * 20 *0,159 = 19,98W

bulunur.
Devrenin toplam empedans genliği;
½Zt½= Z = Ö(20+20)*(20+20) + (19,98-125)(19,98-125) =112,38W

elde edilir. Kaynaktan çekilen akım (etkin ) değeri ;

I = Vk / Z = 30 / 112,38 = 0,267 A

bulunur. Yük üzerinde harcanan aktif güç değeri ;

Pyük =I*I Ryük = (0,267)(0,267)*20 = 1,425 W

elde edilir.

f=50Hz için;

XC = 1/2p*50*63,66*0,000001 = 50W

XL = 2p*50*0,159 = 50W

bulunur. Devrenin toplam empedans genliği;

½Zt½=Z=Ö(20+20)(20+20)+(50-50)(50-50)=20W

elde edilir. Kaynaktan çekilen akım değeri;

I = Vk / Z = 30 / 20 = 1,5 A

bulunur. Yük üzerinde harcanan aktif güç değeri;

Pyük = I*I*Ryük =(1,5)(1,5)*20 = 45 W

elde edilir.

f=100Hz için

XC = 1 / 2p*100*63,66*0,000001 = 25W

XL = 2p*100*0,159 = 100W

bulunur.



Devrenin toplam empedans genliği;

½Zt½=Z=Ö(20+20)(20+20)+(100-25)(100-25) = 85W

elde edilir. Kaynaktan çekilen akım değeri;

I = Vk / Z = 30 / 85 = 0,352 A

bulunur. Yük üzerinde harcanan aktif güç değeri;

Pyük = I*I*Ryük = (0,352)(0,352)*20 = 2,478 W

elde edilir.

Bulunan güç değerlerinden de görüldüğü gibi f=50Hz için kaynak empedansı ile yük empedansı birbirlerini kompleks eşleniği oldukları için yükte harcanan aktif güç değeri maximum olmaktadır. Empedans değeri frekans değeri ile değiştiği için verilen problem için güç ile frekans değişimi şekilde gösterilmiştir. Şekilde de görüldüğü gibi 50Hz için yükte tüketilen güç maximum olmaktadır.









Örnek 9 ;














Yukarıdaki şekilde kuvvetlendirici ve bunun gerisindeki Vgiriş gerilimi, hoparlörü besleyen kaynak olarak kabul edildiğinde, ayar kapasitörünü de içeren sistem eşdeğeri şekilde gösterilmiştir. Hoparlörden maximum güç çekilebilmesi için kaynak frekansı ne olmalıdır? Kaynak gerilim etkin değeri 3,8 V olduğunda hoparlör tarafından çekilen güç değerini bulunuz.

Çözüm ;

Maximum güç teoreminde anlatıldığı gibi hoparlörün kaynaktan maximum güç çekebilmesi için kaynak empedansı ile yükün empedansının birbirlerinin eşleniği olması gerekir. Buna göre;

XL = XC Þ 1 / 2pfC = 2pfL

olmalıdır. Bu eşitliği sağlayan frekans ise;

f*f = 1 / 4p*4pLC Þ f= 1 / 2pÖ LC = 1 / 2pÖ 0,1*0,1*0,000001 = 1592Hz

bulunur. Devrenin toplam empedansı ise;

Zt = Rçıkış + Rhop = 16W

elde edilir. Kaynaktan çekilen akım değeri;

I = Vk / Zt = 3,8 / 16 = 0,238 A

olur.

Hoparlörde harcanabilecek maximum güç ise;

Pmax = I*I*Rhop = (0,238)(0,238)*8 = 0,453 W

bulunur.