Bulanık Mantığın Tarihçesi
Bulanık mantık (Fuzzy Logic) kavramı ilk kez 1965 yılında California Berkeley Üniversitesinden Prof. Lotfi A.Zadeh’in bu konu üzerinde ilk makalelerini yayınlamasıyla duyuldu. O tarihten sonra önemi gittikçe artarak günümüze kadar gelen bulanık mantık, belirsizliklerin anlatımı ve belirsizliklerle çalışılabilmesi için kurulmuş katı bir matematik düzen olarak tanımlanabilir. Bilindiği gibi istatistikte ve olasılık kuramında, belirsizliklerle değil kesinliklerle çalışılır. Ama insanın yaşadığı ortam daha çok belirsizliklerle doludur. Bu yüzden insanoğlunun sonuç çıkarabilme yeteneğini anlayabilmek için belirsizliklerle çalışmak gereklidir.
Bulanık mantıkta, sonuç çıkarma veya karar verme sıfır veya birlerle ifade edilen kesin yanlış ve doğru önermeler veya var-yok gibi kesin gerçeklerle yapılır. Fakat bu şekildeki ikili mantık gerçek dünyanın belirsizliği gibi ifade etmede yetersizdir. Örnek olarak "1+"1"=2" kesin bir gerçektir ve doğruluk değeri birdir. Fakat "otlar yeşildir" ifadesi tam doğru olmamakla birlikte yanlış da değildir ve biz bunu klasik mantıkta tam olarak ifade edemeyiz. İnsan beyni ise "açık yeşil", "serin hava" veya "yüksek hız" gibi matematiksel olarak kesin olmayan belirsiz ya da değer yargıları içeren "bulanık dilsel niteleyicileri" kullanarak sağduyulu kararlar verebilir ve sonuç çıkartabilir. Bulanık mantık, temel olarak yaklaşıklık ve kesin olmama gibi insan düşüncesinde ve doğada var olan belirsizliği kullanmaktadır ve kesin doğru veya kesin yanlış yerine doğal derece doğru ya da yanlışlık belirten tanımlar kullanır. Böylelikle bulanık mantıkta, günlük konuşmalarda kullanılan belirsiz ifadeler tanımlanabilmekte ve bu dilsel niteleyiciler kullanılarak insan benzeri sonuç çıkarma işlemleri gerçeklenebilmektedir. Bu sayede bulanık mantık, bilgisayarlara dolayısıyla kontrol sistemlerine insan düşünme ve karar verebilme yeteneğinin kazandırılmasında başarılı bir yol sağlamaktadır.
Bulanık mantık kavramı yeni değildir. 1920'li yıllarda Polonya'lı mantıkçı Jan Lukasiewicz, önermelerin sadece bir veya sıfır doğruluk değeri alabildiği klasik mantıktan farklı olarak önermelerin bir ve sıfır arasında da kesirli doğruluk değeri alabildiği "çok değerli" mantık ilkelerini oluşturdu. 1937'de ise kuantum felsefecisi Max Black yayımlanan bir makalesinde [Black,1937] liste ya da nesnelerden oluşan kümelere "çok değerli mantığı" uygulayarak ilk bulanık küme eğrilerini çizdi. Daha sonra 1965'de Lotfi A. Zadeh bu alana adını veren "Bulanık Kümeler" adlı çığır açıcı yazısını [Zadeh,1965] yayınladı. Zadeh bu makalede, bir kümenin tüm elemanlarına Lukasiewicz'in mantığını uygulayarak bulanık kümeler için eksiksiz bir cebir geliştirdi. Buna rağmen, Ebrahim H. Mamdani'nin bir buhar makinası için bulanık mantıkla çalışan bir kontrol sistemi [Mamdani,1974] gerçekleştirdiği 1970'li yılların ortalarına dek bulanık kümeler kullanım alanı bulamadı. Ve bu tarihten itibaren "bulanık mantık" terimi bulanık kümeler yardımıyla akıl yürüten herhangi bir matematik ya da bilgisayar sistemini ifade etmektedir.
Bulanık mantığın uygulama alanları kontrol sistemleriyle sınırlı değildir. Geliştirilen son teoremler bulanık mantığın ilke olarak, ister mühendislik, ister biyoloji ve hatta isterse ekonomi olsun, hertürlü alanda sürekli sistemleri modellemek için kullanılabileceğini göstermektedir. Çoğu alanda bulanık mantık temelli sağduyulu modellerin standart matematiksel modellerden daha yararlı ya da daha kesin sonuçlar verdiği görülmektedir.
Fuzzy kuramının merkez kavramı fuzzy kümeleridir. Küme kavramı kulağa biraz matematiksel gelebilir ama anlaşılması kolaydır. Örneğin “orta yaş” kavramını inceleyerek olursak, bu kavramın sınırlarının kişiden kişiye değişiklik gösterdiğini görürüz. Kesin sınırlar söz konusu olmadığı için kavramı matematiksel olarak da kolayca formüle edemeyiz. Ama genel olarak 35 ile 55 yaşları orta yaşlılık sınırları olarak düşünülebilir. Bu kavramı grafik olarak ifade etmek istediğimizde karşımıza bir eğri çıkacaktır. Bu eğriye “aitlik eğrisi” adı verilir ve kavram içinde hangi değerin hangi ağırlıkta olduğunu gösterir.
Bir fuzzy kümesi kendi aitlik fonksiyonu ile açık olarak temsil edilebilir.Aitlik fonksiyonu 0 ile 1 arasındaki her değeri alabilir. Böyle bir aitlik fonksiyonu ile “kesinlikle ait” veya “kesinlikle ait değil” arasında istenilen incelikte ayarlama yapmak mümkündür.
Bulanık mantık ile matematik arasındaki temel fark bilinen anlamda matematiğin sadece aşırı uç değerlerine izin vermesidir. Klasik matematiksel yöntemlerle karmaşık sistemleri modellemek ve kontrol etmek işte bu yüzden zordur, çünkü veriler tam olmalıdır. Bulanık mantık kişiyi bu zorunluluktan kurtarır ve daha niteliksel bir tanımlama olanağı sağlar. Bir kişi için 38,5 yaşında demektense sadece orta yaşlı demek bir çok uygulama için yeterli bir veridir. Böylece azımsanamayacak ölçüde bir bilgi indirgenmesi söz konusu olacak ve matematiksel bir tanımlama yerine daha kolay anlaşılabilen niteliksel bir tanımlama yapılabilecektir.
Bulanık mantıkta fuzzy kümeleri kadar önemli bir diğer kavramda linguistik değişken kavramıdır. Linguistik değişken “sıcak” veya “soğuk” gibi kelimeler ve ifadelerle tanımlanabilen değişkenlerdir. Bir linguistik değişkenin değerleri fuzzy kümeleri ile ifade edilir. Örneğin oda sıcaklığı linguistik değişken için “sıcak”, “soğuk” ve “çok sıcak” ifadelerini alabilir. Bu üç ifadenin her biri ayrı ayrı fuzzy kümeleri ile modellenir.
Bulanık mantığın uygulama alanları çok geniştir. Sağladığı en büyük fayda ise “insana özgü tecrübe ile öğrenme” olayının kolayca modellenebilmesi ve belirsiz kavramların bile matematiksel olarak ifade edilebilmesine olanak tanımasıdır. Bu nedenle lineer olmayan sistemlere yaklaşım yapabilmek için özellikle uygundur.
Bulanık mantık konusunda yapılan araştırmalar Japonya’da oldukça fazladır. Özellikle fuzzy process controller olarak isimlendirilen özel amaçlı bulanık mantık mikroişlemci çipi’nin üretilmesine çalışılmaktadır. Bu teknoloji fotoğraf makineleri, çamaşır makineleri, klimalar ve otomatik iletim hatları gibi uygulamalarda kullanılmaktadır. Bundan başka uzay araştırmaları ve havacılık endüstrisinde de kullanılmaktadır. TAI’de araştırma gelişme kısmında bulanık mantık konusunda çalışmalar yapılmaktadır. Yine bir başka uygulama olarak otomatik civatalamaların değerlendirilmesinde bulanık mantık kullanılmaktadır. Bulanık mantık yardımıyla civatalama kalitesi belirlenmekte, civatalama tekniği alanında bilgili olmayan kişiler açısından konu şeffaf hale getirilmektedir. Burada bir uzmanın değerlendirme sınırlarına erişilmekte ve hatta geçilmektedir.
Bulanık mantık, karışık endüstriyel proseslerin ve metro sistemlerinin kontrolünde, uzman sistemlerin tasarımında kazançlı bir araç olarak ortaya çıkmıştır. Bulanık mantık ilk olarak Amerika'da keşfedilmiş olmasına rağmen teknolojinin hızlı ilerleyişi Japonya'dan başlayıp tekrar Amerika'ya veAvrupa'ya ulaşmıştır. Bulanık mantık hala Japonya'da hızlı bir ilerleme seyri sürdürmektedir. Basit bulanık kontrol kurallarının kullanıldığı uygulamalarda 'fuzzy' kelimesi pazarlamada anahtar kelime durumuna gelmiş durumdadır. İçinde 'fuzzy' kelimesi geçmeyen elektronikle alakalı makaleler ilgi görmemektedir. Hatta garibinize gidebilir ama üzerinde 'fuzzy logic' yazan tuvalet kağıtları bile mevcuttur. Japonya'da bulanık mantık araştırmaları dev bir bütçeyle desteklenmektedir. Avrupa'da ve Amerika'da çalışmalar bu muhteşem Japon başarısını yakalama yönünde sürdürülmektedir.Örneğin NASA uzay üssü şu an bulanık mantığı karmaşık iniş kalkış manevralarına uygulamaya çalışmakla meşgul durumdadır.
1.2 Bulanık Kümeler
Klasik mantık ile bulanık mantık arasındaki farkı en açık şekilde iki mantık sisteminin temelini oluşturan, kullandıkları küme teorilerini incelemekte görebiliriz.
Klasik ikili mantığın dayandığı standart küme teorisinde, herhangi bir nesne bir kümeye ya aittir ya da değildir. Bunun ortası yoktur. Yani bir nesnenin bir kümeye aitlik derecesini gösteren "üyelik derecesi" ya "birdir" ya da "sıfırdır". Örneğin :Beş sayısı kesinlikle tek sayılar kümesine aittir ve asla bu kümenin tümleyeni olan çift sayılar kümesine ait değildir. Ayrıca bu birbirinin tümleyeni olan iki kümeden hiç birine ait olmaması da söz konusu değildir. Bu ilke hem klasik mantığın yapısını korumakta hem de bir nesnenin aynı anda hem bir şey olup hem de o şey olmaması çelişkisini ortadan kaldırmaktadır.
Bulanık mantığın kullanıldığı "bulanık" ya da başka bir deyişle "çok değerli" kümelerde ise, nesneler bulanık bir kümeye ve bu kümenin tümleyeni olan kümeye aynı anda sonsuz farklı derecelerde ait olabilir. Buradaki tek sınırlama bu iki üyelik derecesinin toplamının bir olması gerektiğidir. Örneğin eğer hava, %20 serin ise %80 serin-değil olamalıdır. Bulanık mantık bu yolla, klasik mantığı geçersizleştiren "havanın %100 serin iken %100 serin-değil" ifadesinde olduğu gibi, çift çelişkiden kaçınır. Bunun yerine nesneler birbirlerinin tamamlayıcısı olan iki bulanık kümeye, hava %20 serin iken %80 serin-değil olması gibi aynı anda kısmen aittir. Ve bu da dilsel(linguistik) niteleyicilerde olduğu gibi kısmi çelişkilere sebep olur. Bulanık kümeler nesnelerin %100 üye olup-olmadığı özel durumlar için klasik klasik kümenin özelliklerini taşır ve klasik küme teorisi işlemleri uygulanabilir. Önemli bir nokta da bulanık kümedeki üyelik derecelerinin olasılık yüzdeleriyle aynı şey olmadığıdır. Olasılığı gösteren sayılar bir şeyin olup olmayacağının ölçütüdür. Bulanık sayıların üyelik dereceleri ise bir olayın ne dereceye kadar olduğunu, bir koşulun ne dereceye kadar gerçekleştiğini gösterir; sabah hava %30 olasılıkla serin olacak önermesi sabah havanın serin olma ihtimalini gösterir; sabah hava %30 serindi veya hava %30 serin gibi ifadeler ise geçmişte veya o andaki havanın serinlik derecesini göstermektedir. Bu konudaki ikinci bir örnek de şu şekilde olabilir: X bütün sıvılardan oluşan bir küme olsun. X'in bir alt kümesi olan Y kümesi ise içilmesi zararsız olan sıvıların kümesi olsun. Farzedelim ki elimizde A ve B olmak üzere etiketi kapatılmış dolu iki şişe var. Bize verilen bilgi ise A şişesindeki sıvının Y kümesine üyelik derecesinin %91 ve B şişesindeki sıvının Y kümesine üye olma olasılığının %91 olduğudur. Eğer bu iki şişeden birini içmek zorunda kalırsak A şişesinin tehlikesi B'ye göre daha azdır. Çünkü B şişesi onda bir olasılıkla zararlı bir sıvıyla doludur ve B şişesini içersek ani bir ölümle karşılaşabiliriz. Fakat A şişesine ait %91'lik üyelik derecesi bize şişedeki sıvının zararsız sıvılara örneğin saf suya %91 oranında benzediğini ve asla hidroklorik asit(HCl) gibi zararlı bir sıvı olmadığını ifade eder. Bu yüzden bu sıvının bize verebileceği zarar sınırlıdır ve ölüm tehlikesi yoktur. Hatta bulanık bir su olarak düşünülebilir. Şimdi etiketleri açıp olasılık ve üyelik derecesinin durumunu tekrar inceleyelim. Etiketler açıldığında A şişesinde çamurlu su B şişesinde ise hidroklorik asit(HCl) çıktığını farzedelim. Buna göre A şişesindeki çamurlu suyun Y kümesine üyelik değeri yine %91'dir; fakat B şişesinin Y kümesine üye olma olasılığı sıfırdır. Sonuç olarak üyelik derecesi, bir nesnenin herhengi bir kümeye ne derece üye olduğunu, ne derece benzediğini veya bir olayın bir şartın ne derece var olduğunu gösterir ve aldığı değer sabittir. Buna karşılık olasılık ise bir olay gerçekleşmeden önce olup-olmayacağı veya ne derece olabileceği hakkında bilgi verir ve zamana bağlı olarak duruma göre değişebilir. Üyelik derecesi daha çok bir olayın benzerlik derecesini ifade ederken, olasılık olma sıklığını gösterir[Bezdek,1993].
Klasik küme ile bulanık küme arasındaki farkı daha iyi anlamak için bir örnek üzerinde tartışalım.
Örnek 1:
Evrensel kümemizde 0 ila 10 arasındaki tüm reel sayıları kapsayan bir X kümesi ele alalım. Şimdi bu küme üzerinde 5 ile 8 arasında reel sayılardan oluşan bir A altkümesi tanımlayalım.
A = [5,8]


[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/SA%28%5e_%5e%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG]
Şimdi bu A alt kümesini X kümesi üzerinde elemanlarının o kümede bulunup bulunmamasına göre değişecek şekilde 1 ve 0 ile gösterelim. Bu tanımlamamız sonucu oluşacak şekil aşağıdaki gibi olacaktır;

mA(r) üyelik fonksiyonu şekil 1'de görüldüğü gibi yalnızca iki farklı değer alabilir ve tüm reel sayıları "0" ve "1" sayılarına dönüştürür. Bu dönüşüm r reel sayısının A kümesine üye olup olmadığını (var-yok) ifade eder. Yani, eğer mA(p)=1 ise "p" sayısı A kümesinin üyesidir ve mA(p)=0 ise "p" sayısı A kümesinin üyesi değildir. Klasik kümede üyelik durumunu gösteren üyelik fonksiyonu ikili mantıkta bir önermenin doğru olup olmadığını ifade eder. Şimdi klasik mantığın bazı durumlarda içine düştüğü tanımlama eksikliğine bir örnek olması açısından bir örnek daha verelim.
Örnek 2:
Bu örnekte genç insanların oluşturduğu bir küme tanımlamak istiyoruz. Biçimsel olarak göstermek gerekirse;
B = {genç insanlar kümesi}
Yaş kavramı genelde 0'dan başladığı için kümemizin alt değerleri için değerlendirme yapmamız kolay olacaktır. Ancak diğer taraftan yüksek değerler için tanımlama yapmak bayağı zor olacaktır. İlk bir hamle olarak üst değerimizi 20 olarak kabul edelim. Bu tanımlama sonucu B kümemizi keskin küme gösterimi olarak aşağıdaki gibi gösterebiliriz
B = [0,20]
Şimdi hemen sorular yükselecektir. Niçin bir insan 20. yaşgününde gençken ertesi gün genç olarak kabul edilmiyor? Bunun yapısal bir problem olduğu açıktır zira kümemizin üst değerini farklı bir değere de taşısak aynı soruyla tekrar karşılaşacağımız muhakkaktır.
B kümesini inşa etmenin daha tabi ve kolay yolu genç ve genç olmayan keskin ayrımını biraz gevşetmek olacaktır. Bunu EVET, O genç insanlar kümesinin bir elemanıdır veya HAYIR, O genç insanlar kümesinin bir elemanı değildir gibi keskin cümleler yerine daha esnek olan "O kısmen genç insanlar kümesine aittir.'" veya "O genç insanlar kümesine üye sayılamaz." gibi cümleler kullanmak suretiyle gerçekleştireceğiz.
İlerleyen sayfalarda bulanık kümenin böyle bir notasyona(gösterim şekli) izin verdiğini göreceğiz.
Girişte de belirttiğimiz gibi biz bulanık kümeleri bilgisayarları daha etkin hale getirmeleri için kullanıyoruz ve şimdi bu amaca yönelik olarak gözle görülür bir çalışma göstermemiz gerekmektedir. İlk örneğimizde evrensel kümemizdeki tüm elemanları 0 ya da 1 olarak kodladık. Amacımızın gerçekleştirilmesine yönelik direkt bir çözüm yolu 0 ile 1 arasında ek olarak farklı değerlere izin vermek olacaktır. Aslında biz bunu 0 ile 1 arasında sonsuz değer ihtimali vererek gerçekleştiriyoruz ve bunu I = [0, 1] şeklinde ifade ediyoruz.
Bu yeni durumda oluşacak grafiğin izahı selefine göre biraz daha zor olacak. Tabi ki ordinat ekseninde 1 değerine karşılık gelen apsisteki elemanın B kümesinin elemanı olduğu ve 0 değerine karşılık gelen elemanın ise B kümesinin elemanı olmadığı açık bir şekilde görülmektedir. Diğer değerlerin manasına gelince bunlar da B kümesine aşamalı üyelik durumunu belirtmektedir.
Daha somut olması açısından ilk örnekte olduğu gibi genç insanlar kümesinin karekteristiğinin grafik gösterimine beraberce göz atalım.


[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/SA%28%5e_%5e%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif[/IMG]
Şekil 1.2 : Genç insanlar kümesine(B) değişik yaş gruplarının üyelik durumu.

Yukarıda da görüldüğü gibi keskin küme mantığındaki yakınmaların hepsi tarihe karışmıştır çünkü 25 yaşındaki birisi hala kendisine yüzde elli genç nazarıyla bakabilecektir.
Artık bulanık kümenin ne olduğunu az çok idrak etmiş durumdayız ama acaba bu bulanık kümelerle neler yapabiliriz? Şimdi isterseniz bunu beraberce inceleyelim.
1.3 Bulanık Kümelerdeki İşlemler
Bulanık kümelere ait temel bilgilere sahip olduğumuza göre bulanık kümelerdeki temel işlemlerle tanışabiliriz. Keskin küme işlemlerinde olduğu gibi bulanık kümelere kesişme, birleşme ve ters eleman özelliklerini uygulamak istiyoruz.
Bulanık mantıkla ilgili ilk makalesinde L. A. Zadeh iki bulanık kümenin kesişimi için minimum operatörünü birleşimi için de maksimum operatörünü önermişti. Bu yaklaşımın üyelik değerlerinin 0 ya da 1 olması durumunda keskin kümelerdeki kesişim ve birleşim işlemleriyle birebir örtüştüğü kolayca görülebilir.
Konuya açıklık getirme adına birkaç örnek verelim. A 5 ile 8 arasında bulanık bir aralık olsun. B ise değeri 4 civarında olan bulanık bir değer olsun. Bu duruma uyan grafikler aşağıda verilmiştir.



[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/SA%28%5e_%5e%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif[/IMG]
Aşağıdaki grafik değeri 5 ile 8 arasında VE 4civarında olan bulanık kümeyi göstermektedir. (Mavi çizgiye dikkat edin) Burada VE işleminin kesişme işlmine karşılık geldiğine dikkat etmişsinizdir. Mavi çizgi iki kümenin kesişmesinin sonucunu göstermektedir.


Yine aşağıdaki grafik değeri 5 ile 8 arasında VEYA 4civarında olan bulanık kümeyi göstermektedir. (Mavi çizgiye dikkat edin) Burada VEYA işleminin birleşme özelliğini karşıladığı dikkatinizi çekmiştir. Mavi çizgi iki bulanık kümenin birleşmesinin sonucunu ifade etmektedir.


Aşağıdaki grafik bulanık kümelerin ters elemanının gösterimine bir örnektir. Mavi çizgi A bulanık kümesinin tersini göstermektedir.


[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/SA%28%5e_%5e%7E1/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif[/IMG]


Veri tabanlarının ve sorgulamaların bulanıklığı ihtiva ettiği durumlardaki bulanıklık konseptini açıklamaya çalışacağız. Bu tartışmamızda bize rehberlik eden referanslar ise Terano Asai ve Sugeno'dur. Şimdi öncelikle bir bulanık kümeye değişik bir notasyonda göz atalım.
Eğer a,b,c,d elemanlarının A kümesindeki üyelik fonksiyonlarının dereceleri sırasıyla 0.9, 0.4, 0.5, 0 ise biz bu iki bulanık kümeyi ;
A={0.9/a, 0.4/b, 0.5/c}
ve
B={0.9/a, 0.6/b, 0.3/c, 0.8/d}
şeklinde gösterebiliriz.
AUB kümesini ise ortak elemanların en yüksek üyelik derecesi değerlerini almak sureti ile :
AUB={0.9/a, 0.6/b, 0.5/c, 0.8/d}
şeklinde gösterebiliriz. A∩B kümesini ise en küçük üyelik derecesi değerlerini almak suretiyle :
A∩B ={0.9/a, 0.4/b 0.3/c}
şeklinde gösterebiliriz.
Bulanık değerleri Tablo 16.2 deki gibi kümelere ayıralım.

Tablo 1.1 Örnek kümeler için bulanık değerler.

FV(hs)


İsim, vatandaşlık, ziyaret edilen kümelerin oluşturduğu sistemde bulanıklık zaten beklenmemektedir. Bir bulanık kümeye ait olduğunu düşündüğümüz her bir eleman, o bulanık kümenin değerini yükseltir.
Şimdi 35 yaşında olan John Smith’i eleman olarak kabul eden kümeleri irdeleyelim. John Smith’in değişik bulanık kümelere üyelik değerlerini saptayalım.
Yaş: mçok genç(35) =0
mgenç(35) =0.75
mortayaşlı(35) =0.3
myaşlı(35) =0
John Smith’in çok genç ve yaşlı bulanık kümelerine üyelik derecesinin sıfır olduğuna dikkat edelim. Aşağıda ise John Smith’in görüldüğü kümelerin listesi verilmiştir.
Yaş_genç= (0.75/35, .......)
Yaş_orta yaşlı=(0.3/35, ......)
Basit bir ülke ziyaret edilme sıklığı (zes) listesi şöyle olabilir:
Zes_nadiren=(0.7/1, 0.2/2)
Zes_arasıra=(0.3/2, 0.6/3)
Ama ziyaret sayısının ziyaret edilen ülke adı zikredilmeksizin çok fazla bir anlam ifade etmeyeceğini unutmayınız. Zira bu göreceli bir durumdur. Bir insanın bir ülkeyi çok fazla ziyaret etmesi durumu olabildiği gibi başka bir ülkeyi de nadiren ziyaret etmesi söz konusu olabilir. Bu bizi bulanık bağıntı notasyonuna yönlendirir.
1.5 Bulanık İlişkiler

A kümesi ile B kümesi arasındaki standart bağıntılar iki kümenin kartezyen çarpımının bir altkümesidir. Bu da AxB şeklinde ifade edilebilmektedir. AxB kümesinin elemanları (a,b) şeklinde gösterilir ve bu notasyon a’nın A kümesine, b’nin de B kümesine ait olduğunu gösterir. Örneğin sıralı (Joe,Paul) ikilisi Joe’nun eleman olduğu babalar kümesi ile Paul’un elemanı olduğu oğullar kümesinin kartezyen çarpımının bir elemanıdır. Veya bunu erkekler kümesinin kendi kendisi ile kartezyen çarpımı olarak da kabul edebilirsiniz. Bu durumda sıralı çift (Joe,Paul), Joe'nun baba Paul'un da onun oğlu olduğu durumu ifade etmektedir. Bu bağıntıyı 'babalık' olarak tanımlayabiliriz. Bulanık bağıntı da sonuç kümeleri bulanık küme olmadığı durumlarda standart bağıntıya benzerdir. Bu bağıntıya bir örnek olarak ‘daha eğitimli’ bağıntısını verebiliriz. Bulanık küme şöyle olacaktır.
daha eğitimli={......,0.2/(Jeff,Steve),0.7/(Jeff,Mike)}
1.6 Bulanık bağıntının matrissel gösterimi

S={Jeff,Steve,Mike} şeklinde bir küme alalım. Bağıntı ise daha eğitimli bağıntısı olsun. Herbir eleman için SxS kartezyen çarpımının sonucu üyelik derecelerine ihtiyaç duymaktayız. Zaten;

m daha eğitimli (Jeff,Steve)=0.2

ve

mdaha eğitimli (Jeff,Mike)=0.7

değerlerine sahibiz. Acaba (Jeff,Jeff) çifti için değerimiz ne olmalı? Bu ve benzeri durumlar için akla ilk gelecek değer tabi ki tahmin edebileceğiniz gibi "0" olacaktır. Çiftlerdeki elemanların aynı olduğu durumlarda 0 değerini kullanacağız. Daha eğitimli bağıntısını kümemizde matriks formunda şöyle gösterebiliriz.


0/ (Jeff , Jeff) 0.2/(Jeff,Steve) 0.7/(Jeff,Mike)
Daha eğitimli= 0.4/(Steve,Jeff) 0/(Steve,Steve) 0.3/(Steve,Mike)
0.1/(Mıke,Jeff) 0.6/(Mike,Steve) 0/(Mike,Mike)
1.7 Bulanık Bağıntının Özellikleri

Aynı kümenin kendisiyle kartezyen çarpımından oluşan bir kümenin ilginç özellikleri olacaktır. Örneğin bu bulanık küme yansıma özelliğine sahip olabilir. Bizim örneğimiz ise yansıyan değildir.
Bir bağıntı simetrik olabilir. Bu durumda ana diagonal’e göre simetrik olarak yerleştirilmiş olan çiftlerin değerleri bizim için yeterli olabilir. Örneğin (Jeff,Mike) çifti ile (Mike,Jeff) çiftinin değerleri aynı olmalıdır. Bizm örneğimizde bu durum görülmediğine göre bizim örnek bağıntımız simetrik değildir. Bağıntımız antisimetrik de olabilir.
Bağıntımız geçişme özelliğine sahip olabilir. Geçişme özelliği için aşağıdaki durumun sağlanması gereklidir: Yazımda kolaylık için daha eğitimli yerine d harfini kullanacağız.
Min(md(Jeff, Steve), md(Steve, Mike)≤ md(Jeff, Mike)
Min(md(Jeff, Mike), md(Mike, Steve)≤ md(Jeff, Steve)
Min(md(Steve, Jeff), md(Jeff, Mike)≤ md(Steve, Mike)
Min(md(Steve, Mike), md(Mike, Jeff)≤ md(Steve, Jeff)
Min(md(Mike, Jeff), md(Jeff, Steve)≤ md(Mike, Steve)
Min(md(Mike, Steve), md(Steve, Jeff)≤ md(Mike, Jeff)

Bizim örneğimizde Min(md(Jeff, Steve), md(Steve, Mike) = min(0.2, 0.3)=0.2
md(Jeff, Mike)=0.7>0.2
burada istenen koşul sağlanmaktadır.
Ama aşağıdaki durumda
Min(md(Jeff, Mike), md(Mike, Steve)=min(0.7, 0.6) = 0.6
md(Jeff, Steve)=0.2<0.6
koşul sağlanmamaktadır. Demek ki bağıntımız geçişme özelliğine sahip değildir.
Dikkatinizi çekti ise birden fazla elemana sahip bir bağıntı simetrik ise bu bağıntı antisimetrik değildir. Aynı şey bu durumun tersi için de geçerli olduğu söylenebilir. Tıpkı bizim örneğimizde olduğu gibi.
Yansıma özelliği, geçişme özelliği ve simetrikliğe sahip olan bir bağıntı aşağıda verilmiştir:
1 0.4 0.8
0.4 1 0.4
0.8 0.4 1

1.8 Denklik Bağıntısı

Yansıma özelliği, geçişme özelliği ve simetrikliğe sahip olan bir bağıntıya denklik bağıntısı denilebildiği gibi benzerlik bağıntısı olarak da adlandırılabilir.

Sizce benzeyiş ve benzerlik bir ve aynı şeymi? Eğe x benzer y ise, x benzeşir y anlamına gelir mi? Ya da benzerlik ya da benzeyişin söylenmesi hisine dayanır mı? Teknik dilde, yükseklik kavramında Bill belki George’a benzer, fakat finansal terimlerde Bill, George’a benzeşir mi? Bu tez bize benzeyiş ilişkileirine bakmamızı ve onu benzerlik ilişkilerinden farklandırmamızı gerektirir mi? Tabi ki.
Tepkili, simetrik ve ayrıca geçişli olan belirsiz ilişkiye (Fuzzy Relation) benzerlik ilişkisi denir. Eğer ilişki şu özelliğin birine sahip değilse, benzerlik ilişkisi değildir. Fakat sadece geçişlilik özelliği yoksa, yani tepkili (refleksif) ve simetrik ise bir benzerlik ilişkisi değildir. Ama bir benzeyiş ilişkisidir. Benzerlik ilişkisini t olarak adlandırdığımız aşağıdaki matrikste gösterilen bir örnek verelim. Alanımız a,b ve c elemanlarına sahip olsun ;

1 0,4 0,8
t= 0,4 1 0,5
0,8 0,5 1

Bu belirisiz ilişkinin tepkili ve simetrik olduğu açıktır, fakat geçişli değildir.
Örneğin:
Min(mt(a,c),mt(c,b)) = min (0.8,0.5) = 0.5
Fakat aşağıdaki
Mt(a,b) = 0.4<0.5
Geçişlilik için durumun ihlalidir. Bundan dolayı, bir benzerlik ilişkisi değildir, fakat kesin bir benzeyiş ilişkisidir.

Son tanım bulanık kısmın tanımıdır. Tepkili, anti-simekrik ve geçişli bir belirsiz ilişki, bulanık kısmı sıradır. Şu benzerlik ilişkisinden simetri yerine anti simetri gelmesiyle farklılaşır. Kesin setlerin içeriğinde, eşdeğerlilik sınıflarını oluşturmaya yardım eden eşdeğerlikil ilişkisi de tepkili, simetrik ve geçişli bir ilişkidir. Belirsiz ilişkilerle benzerlik sınıflarından farklı olarak onun eşdeğerlilik sınıfları ayrılmıştır. Kesin setlerle, kısmi bir sıra tanımlayabilir ve onu alandaki elemanların birinin değeriyle karşılaştırma yaparken temel olarak sunabiliriz.